Proporrò in questo scritto uno di questi argomenti, il quale, potendosi presentare sia in collegamento con una questione "pratica", che in relazione ad una curiosa teoria di tipo "astrologico", si spera possa suscitare l’interesse dei discenti, e condurli così in modo naturale verso l’approfondimento di alcune proprietà di aritmetica elementare, la cui "scoperta" può per l’appunto riuscire più gradita attraverso tali "concrete" motivazioni.

Accanto alla cultura che possiamo dire scientifica, ne esiste un’altra, viva ai nostri giorni forse non meno di come era viva in tempi che usiamo ritenere oggi meno "illuminati", alla quale gli uomini si rivolgono quando vogliono superare gli inesorabili divieti della natura. Come si possa guarire da malattie incurabili, prevedere il futuro, ottenere successo, amore, fama, denaro, etc., tutto questo è promesso agli acquirenti di decine di opuscoli, o anche veri e propri libri, che fanno bella mostra di sé nelle nostre edicole, o ai potenziali clienti e seguaci di guaritori, maghi, veggenti, che ci fanno pervenire i loro messaggi senza fatica a causa della diffusione dei mezzi di comunicazione.

Una teoria appartenente a questa seconda "cultura" è quella dei cosiddetti bioritmi, la cui conoscenza permetterebbe di "evitare incidenti pericolosi, superare crisi psicologiche, conoscere in anticipo la data di nascita e il sesso dei nostri figli", etc. ([1]), della quale si è parlato, e si continua a parlare di tanto in tanto, in riviste e giornali di grande diffusione. Per far vedere con un esempio come la teoria risulti importante anche nella pratica sportiva, che oggi attira molto l’attenzione delle "masse", la conoscenza dei bioritmi sarebbe indispensabile per saper valutare in anticipo le prestazioni di un atleta, sicché è assolutamente raccomandabile all’allenatore di ogni grande squadra. Si asserisce per esempio che la campionessa di tennis Chris Evert non partecipi mai a tornei che non cadano in una sua fase bioritmica positiva, che il celebre campione di automobilismo Niki Lauda fosse in un momento doppiamente negativo il giorno del suo sfortunato incidente al Nurburgring, e così via di questo passo ([2]).

Si è messi così in curiosità di quale sia il contenuto di questa teoria, ed eccola quindi illustrata qui brevemente. Basterà dire che ad ogni essere umano, a partire dal giorno della sua nascita, ma tenendo conto anche del "temperamento" espresso dal segno zodiacale di appartenenza, sono associati dei ritmi vitali, ciascuno avente un diverso periodo di giorni, in corrispondenza ai minimi o massimi dei quali si attraversano fasi critiche o di grandi potenzialità, specialmente in coincidenza di minimi o massimi multipli.

Tanto per fare un esempio, illustriamo due di questi ritmi vitali, dei tre che sarebbero conosciuti: ciascuno di noi avrebbe un proprio ritmo solare (M) di 23 giorni, ed uno lunare (E) di 28 (tralasciamo per semplicità quello mercuriale (I) di 33 giorni). A partire dal giorno della sua nascita, un individuo dopo 23 giorni attraversa una fase critica del proprio ritmo (M), che è connesso al "fisico", e così ancora dopo 46 giorni, etc.. Invece, attraversa una fase critica del ritmo (F), legato alle proprie capacità sensitive, dopo 28 giorni, e poi ancora dopo 56, e così via. Pertanto, dopo 23*28 = 644 giorni, attraverserà una fase doppiamente critica, e lo stesso dopo 1288 = 2*644 giorni, etc.. Conoscere in anticipo i propri giorni favorevoli o sfavorevoli diventa così della massima importanza, e il tutto si riduce a una pura e semplice questione di aritmetica.

Non è però questo il problema di cui ci vogliamo occupare, ovvero della determinazione dei numeri corrispondenti a tali periodi doppiamente o triplamente critici, bensì di alcune ulteriori asserzioni della "teoria", la quale resterebbe (per gli scettici!) sperimentalmente verificabile sulla base di alcuni invero curiosi esempi. Si asserisce che i numeri 23 e 28 rivestano tale importanza nella nostra vita, al punto che tutti i numeri importanti della storia contengono in sé cicli interi di essi. Che cosa si intende con tale espressione? Ma per esempio che il numero dei giorni dell’anno è 365, il quale si può scomporre come 11 volte 23 più 4 volte 28; che il numero dei giorni della vita di un personaggio popolare come Papa Giovanni XXIII è stato 26885, il quale risulta in effetti uguale a 811*23 + 294*28, e gli esempi continuano a moltiplicarsi a piacere. "Abbiamo così la prova che l’uomo non può sfuggire al proprio destino. Ogni fenomeno, vita e morte, le nascite femminili e quelle maschili, rientra nell’ordine del Cosmo, e noi non possiamo, nonostante i nostri tentativi, contrastare il ritmo naturale" (cfr. ancora [1]).

Divertiamoci adesso a vedere come un matematico possa indagare la natura delle "coincidenze" numeriche riportate a sostegno della teoria dei bioritmi, a prescindere dal fatto che non si vede perché il contenere in sé il 23 e il 28 debba essere particolarmente significativo, visto che in fondo i momenti critici di un individuo sembrerebbero essere più legati alla successione dei numeri 644, 1288,... che esprimono i periodi con i quali si succedono i momenti doppiamente critici nella vita di una persona a partire dal suo giorno di nascita.

Innanzitutto può venire in mente che, essendo il 23 ed il 28 due numeri primi fra di loro, si può sempre esprimere il loro MCD (massimo comun divisore), che è per l’appunto uguale ad 1, come una combinazione lineare a coefficienti interi relativi (indicheremo d’ora in poi con Z l’insieme di questi numeri) del 23 del 28, per il tramite della cosiddetta "identità di Bézout" - i coefficienti inerenti alla quale si possono determinare esattamente con il metodo euclideo delle "divisioni successive":

(1) 1 = 11*23+(-9)*28.

Inoltre, tenuto conto della ovvia relazione di dipendenza lineare:

(2) 0 = 28*23 + (-23)*28,

ed aggiungendola termine a termine alla (1), si trova subito che risulta anche ovviamente:

(3) 1 = 39*23 + (-32)*28,

e così via.

Da ciò si deduce che ogni numero intero relativo k si può esprimere come combinazione lineare, a coefficienti in Z, dei due numeri 23 e 28:

(4) k = (11*k)*23 + (-9*k)*28,

e la (2) mostra anzi che di tali combinazioni se ne possono sempre trovare infinite, una per ciascun intero relativo k':

(5) k = (11*k + 28*k')*23 + (-9*k - 23*k')*28

(si potrebbe provare senza troppo sforzo che queste combinazioni lineari sono tutte e sole quelle che hanno la proprietà desiderata).

Potrebbe così sembrare a prima vista che la semplice ben nota aritmetica elementare ci insegni subito senza fatica che OGNI numero intero k contiene in sé cicli interi del 23 e del 28, ma, si noti bene, con coefficienti possibilmente anche negativi. In realtà, invece, l’asserzione della teoria dei bioritmi è che alcuni numeri interi positivi, o naturali (la cui totalità indicheremo con N) contengono in sé cicli interi positivi, o nulli, del 23 e del 28, affiancando subito a mo' d'esempio a siffatti numeri, quali il 365 o il 26885 sopra citati - che diremo d'ora in poi mistici, e il cui insieme globale indicheremo con M, andandovi a comprendere, come presto specificheremo, anche lo zero - un numero intero positivo che "mistico" in tal senso non è. Il 211, che viene citato in quanto esprimente un periodo di giorni corrispondente a un aborto: "il 211 non ha in sé nessun ritmo naturale, in quanto non contiene in sé il 23 e il 28" ([1]).

In effetti, un semplice controllo mostra subito come il numero 211 sia escluso dalla successione dei numeri dei tipo m*23 + n*28, al variare di m ed n nell’insieme N' - questo simbolo indicando l'insieme dei numeri naturali più lo zero - come restano ovviamente del pari esclusi i numeri dall’1 al 22, e poi il 24, etc..

Ecco che si presenta allora all’indagine matematica un problema abbastanza interessante, e non del tutto usuale, relativo all’esatta determinazione dell’insieme dei numeri mistici M, la quale consentirà di andare quindi a controllare fino a che punto i numerosi esempi riportati a favore della teoria dei bioritmi siano soltanto delle "coincidenze" (quanto poi "naturali" o no resterebbe da stabilire), o nient’altro che delle semplici "necessità aritmetiche".

In tale indagine i ben noti risultati validi nell'anello euclideo Z (in tale contesto si potrebbero introdurre ai ragazzi dei concetti generali come questo) non ci saranno più di immediata utilità, e quindi bisognerà mettersi a fare dei calcoli espliciti direttamente e soltanto nell’insieme N, o N'.

In ogni caso, si sa già che un'espressione del tipo:

k = m*23 + n*28,

sia pure con m ed n numeri naturali, non è comunque necessariamente unica, visto che si potrà sempre scrivere anche ad esempio

k = (m - 28)*23 + (n + 23)*28,

la quale sarà ancora una scrittura del tipo che ci interessa non appena si supponga m > 28 .

Questo solo fatto della non unicità dei coefficienti che rappresentano il numero di cicli del 23 e del 28 che entrano esattamente in un "numero mistico" potrebbe dirsi già togliere da solo un po' di credibilità alla "teoria", e se si obiettasse che quelli che interessano per un certo numero mistico k sono i coefficienti m ed n minimi tali che k = m*23 + n*28, si potrebbe replicare con la domanda: quale è "preferibile" tra le due espressioni: 695 = 29*23 + 28 = 23 + 24*28 ?

Ma lasciamo pure stare questo aspetto della questione, e passiamo ad occuparci della cosa che più conta, ovvero la determinazione precisa dell'insieme M.

Ferme mantenendo le notazioni precedentemente introdotte, designiamo d’ora in avanti con a, b due numeri interi positivi primi tra loro, entrambi diversi dall’unità, ed introduciamo i seguenti due sottoinsiemi di N', il primo incluso ovviamente nel secondo:

M(a,b) = {x in N tali che x = m*a + n*b per qualche scelta di m, n in N}

M'(a,b) = {x in N' tali che x sia del tipo precedente per qualche scelta dei coefficienti m, n in N'}.

Ciò premesso, cominciamo con il dimostrare la seguente:

Proposizione 1 - Se x è un qualunque numero naturale maggiore di a*b, allora x e' certamente un elemento di M(a, b), ed a*b è invero il massimo numero naturale non appartenente ad M(a, b).

Dimostrazione - E' intanto subito chiaro che a*b non è un elemento di M(a,b), visto che un’identità del tipo a*b = m*a + n*b per certi m, n in N implicherebbe: m < b e n < a, mentre dalla a*(b-m) = n*b, essendo a e b supposti primi fra loro, si dedurrebbe che a divide n, ovvero che a non e' superiore a n, contraddizione.

Proviamo ora che, per ogni elemento numero naturale k, il numero

a*b + k è un elemento di M(a,b).

Invero, essendo a e b primi tra loro, a norma dell’identità di Bézout ricordata nel paragrafo precedente, esistono due numeri interi positivi p e q tali che: 1 = p*a - q*b, dalla quale si trae: k = (p*k)*a - (q*k)*b .

Scriviamo ora: q*k = s*a + r, ove r e' un intero non negativo strettamente minore di a, usando dell’algoritmo della divisione con resto in N' (s e' quindi un intero non negativo) ed otteniamo:

a*b + k = a*b + (p*k)*a - (s*a + r)*b = (p*k - s*b)*a + (a - r)*b ,

nella quale i coefficienti (p*k - s*b) e (a - r) sono certamente positivi. La seconda asserzione è implicata dalla definizione di "resto", mentre per la prima si ha che k = (p*k)*a - (s*a + r)*b > 0 implica anche:

dalla quale si deduce p*k - s*b > 0, come si voleva.

Proviamo di seguito l’analoga:

Proposizione 2 - Se x è un qualsiasi numero naturale maggiore di

t = a*b - (a + b) , allora x è certamente un elemento di M'(a,b); inoltre, t è il massimo numero naturale non appartenente ad M'(a,b).

Dimostrazione - È intanto chiaro che t non appartiene ad M'(a,b), poiché da un'identità del tipo t = m*a + n*b , con m, n interi non negativi, si dedurrebbe: a*b = (m + 1)*a + (n + 1)*b, nella quale i coefficienti di a e b sarebbero ora dei numeri positivi, il che contraddice l’asserto della Prop. 1, secondo la quale a*b non è elemento di M(a,b).

Proviamo infine che per ogni numero naturale k , (t + k) risulta in M'(a,b). Usando le stesse notazioni della dimostrazione precedente, si ottiene

t + k = a*b - a - b + (p*k)*a - (s*a)*b - r*b =

= (p*k - s*b - l)*a + (a - r- 1)*b ,

nella quale i coefficienti dei numeri a e b sono positivi o nulli, come volevasi dimostrare.

La situazione che stiamo esaminando è completamente chiarita dalla seguente:

Proposizione 3 - Il numero t è sempre un numero dispari, e dei (t + 1) numeri interi non negativi non superiori a t , (t + 1)/2 esattamente sono in M'(a,b) (compreso lo zero), mentre (t + 1)/2 non lo sono. Anzi, se x un qualsiasi elemento in N, e x < t, si ha che x appartiene ad M'(a,b) se, e soltanto se, il numero (t - a) non è un elemento di M'(a,b).

Dimostrazione - Consideriamo un elemento x in M'(a,b), x < t, e proviamo che (t - x) certamente non è un elemento di M'(a,b). Invero, ove fosse invece (t - x) in M'(a,b), sussisterebbe un’identità del tipo:

t - x = m*a + n*b , con m, n interi non negativi, e per ipotesi sarebbe anche x = u*a + v*b per certi altri elementi u, v in N'. Da queste identità si dedurrebbe per addizione t = (m + u)*a + (n + v)*b, che si è già dimostrato essere assurda non essendo a un elemento di M'(a,b).

Viceversa, se (t - x) non è in M'(a,b), allora certamente vi è x . Invero, ove così non fosse, visto che potremmo scrivere

x = (p*x)*a - (q*x)*b = (p*x)*a - (s*a - r)*b =

= (p*x - s*b)*a + r*b ,

essendosi ora posto q*x = s*a - r, ove r è un intero non negativo strettamente minore di a (una divisione con resto per "eccesso", anziché, come più comune, per "difetto"), da una siffatta identità si dedurrebbe che l’intero (p*x - s*b) è certamente negativo, eppertanto:

t - x = a*b - a - b - (p*x - s*b)*a - r*b =

= (s*b - p*x - l)*a + (a - r - 1)*b ,

nella quale ultima espressione i coefficienti di a e b sono certamente non negativi, il che implicherebbe che (t - x) è un elemento di M'(a,b), contrariamente all'ipotesi.

Ritorniamo infine, in conclusione di questo paragrafo, alla "teoria dei numeri mistici", cercando di interpretare i risultati aritmetici appena ottenuti. Le tre proposizioni precedentemente dimostrate ci avvertono che, nel caso particolare a = 23, b = 28, ogni numero intero positivo superiore a 644 = 23*28 si può in effetti esprimere come una combinazione lineare a coefficienti interi positivi dei numeri 23 e 28, mentre 644 è il massimo numero intero positivo che non si possa esprimere in tale modo. Inoltre, risultando l’insieme dei numeri mistici M = M'(23,28), ogni numero intero positivo superiore a 593 = 644 - 51 (51 = 23 + 28) si può esprimere come combinazione lineare a coefficienti non negativi di 23 e 28, e 593 è il massimo numero intero positivo non mistico. Di più, dei 592 numeri interi positivi compresi (strettamente) tra 0 e 593, soltanto 296 = 592/2 sono numeri mistici, mentre gli altri 296 non lo sono, tra i quali (per puro caso, al 50%!) il numero 211 citato nel paragrafo N. 2 (ma ecco che allora sappiamo anche certamente dalla Prop. 3 che 593 - 211 = 382 è invece un numero mistico).

Ecco cosi spiegato il fatto che, di solito, i numeri presi in considerazione dai sostenitori della teoria dei bioritmi risultano mistici, in special modo quelli esprimenti la durata espressa in giorni (la cosa cambierebbe radicalmente se si considerasse tale durata in anni!) della vita di una persona. Bisognerebbe morire a meno di due anni per avere la possibilità che il numero dei giorni della propria vita NON sia un numero mistico (ma anche cosi, la relativa probabilità è solo del 50%). I rari numeri presi in considerazione quali numeri non mistici sono invece di necessità tutti molto piccoli, e soltanto per questi POCHI numeri avrebbe un senso ricercare la pretesa "armonia" con il 23 ed il 28.

In definitiva, una semplice indagine di aritmetica ci ha permesso di chiarire una situazione che a prima vista avrebbe potuto lasciare perplessi, e ci convince che una teoria quale quella dei bioritmi è soltanto uno di quei non rari esempi di "follia" nella storia del pensiero umano (vedi la Nota Finale).

Un problema così semplice ed interessante quale quello precedentemente esposto non poteva naturalmente essere sfuggito all’attenzione dei matematici, ovviamente molto tempo prima che la teoria dei bioritmi ne indicasse una possibile "applicazione".

La questione ammette la seguente suggestiva formulazione - designata anche come il "problema dello scambio delle monete", che si può far risalire a Frobenius - che diamo qui in tutta la sua generalità:

Generalizzando le notazioni del paragrafo precedente, si tratta di indagare la natura del sottoinsieme di N' così definito:

M'(a₁,...,a_n) = {x in N' tali che x è combinazione lineare di a₁,...,a_n con coefficienti in N'}

ed, in particolare, di studiare il massimo mx'(a₁,...,a_n) dell’insieme complementare N' - M'(a₁,...,a_n), visto che:

Proposizione 4 - L’insieme N' - M'(a₁,...,a_n) è sempre finito, come nel caso n = 2.

(6) M'(a₁,...,a_n-1) incluso in M'(a₁,...,a_n) , e quindi

Per provare la (6') basta dimostrare che ogni numero naturale x maggiore del secondo membro della disuguaglianza appartiene ad M'(a₁,...,a_n). Sia dunque x > d*mx'(a₁/d,...,a_n-1/d) + a_n*(d-1)² , e sia anche

Avremo dunque:

x = q*d + r = q*d + r*(d*a + a_n*b) = d*(q + r*a) + a_n*(r*b) >

> d*mx'(a₁/d,...,a_n-1/d) + a_n*(d-1)² , ovvero

x - a_n*(r*b) = d*(q + r*a) > d*mx'(a₁/d,...,a_n-1/d) + a_n*(d-1)² - a_n*(r*b) ,

dalla quale, essendo sia r che b numeri non negativi non superiori a d-1, si deduce

x - a_n*(r*b) = d*(q + r*a) > d*mx'(a₁/d,...,a_n-1/d) .

In virtù della definizione di mx'(a₁/d,...,a_n-1/d), si ha quindi:

q + r*a = combinazione lineare a coefficienti non negativi di a₁/d,...,a_n-1/d,

d'onde x = a_n*(r*b) + d*(q + r*a) = combinazione lineare a coefficienti non negativi di a₁,...,a_n-1,a_n , come volevasi dimostrare.

(7) mx(a₁,...,a_n) = mx'(a₁,...,a_n) + a₁+ ... + a_n .

Per provare la (7), basta osservare che il secondo membro dell'identità non è elemento di M(a₁,...,a_n), mentre mx'(a₁,...,a_n) + a₁+ ... + a_n + k è certamente tale per ogni numero naturale k, dal momento che

mx'(a₁,...,a_n) + k appartiene per definizione a M'(a₁,...,a_n), mentre

a₁+ ... + a_n sta ovviamente in M(a₁,...,a_n).

Allo scopo introduciamo d’ora in poi l'ulteriore ipotesi che gli elementi a_i, i=1,...,n , siano indipendenti, nel senso che nessuno di essi appartenga all’insieme M' generato dagli altri (se fosse per esempio a₁ elemento di M'(a₂,...,a_n), allora risulterebbe M'(a₁,...,a_n) = M'(a₂,...,a_n) (ma mai, si noti, M(a₁,...,a_n) = M(a₂,...,a_n) ). Converremo altresì d’ora in poi di aver fissato le notazioni in modo da avere anche a₁ < a₂ < ... <a_n .

Proposizione 5 (Erdos-Graham) - La funzione mx' ammette la seguente stima superiore:

(In [3] la stima precedente è anche discussa ed affiancata dalla

che in alcuni casi può essere "migliore" della (8)).

Proposizione 6 (Rodseth) - Ferme restando le ipotesi e le notazioni precedenti, e supponendo inoltre che a₁ ed a₂ siano primi fra loro, risulta

(9) mx'(a₁,a₂,a₃) = -a₁ + a₂*(S_h - 1) + a₃*(P_h+1 - 1) - min(a₂*S_h+1,a₃*P_h) .

Nella (9) appaiono dei termini S_i e P_i , i = h, h+1, e un indice h, che vanno così opportunamente definiti. Si cominci intanto con il definire S₀ come l’unico intero positivo minore di a₁ tale che a₂*S₀ è congruo ad a₃ modulo a₁. Ciò fatto, si consideri la seguente successione di divisioni euclidee per eccesso:

a₁ = q₁*S₀ - S₁ , 0 < S₁ < S₀ ;

S₀ = q₂*S₁ - S₂ , 0 < S₂ < S₁ ; ... fino alla:

S_m-1 = q_m+1*S_m .

Gli interi P_i, i = -1, 0, 1,...,m si introducono invece nel seguente modo:

P_-1 = 0, P₀ = 1, P_i+1 = q_i+1*P_i - P_i-1 . Questi soddisfano evidentemente alle P_-1 < P₀ < ... < P_m, in quanto tutti i quozienti q_i, i = l, 2,..., m+1, sono non minori di 2, e quindi risulta:

0 = S_m+1/P_m+1 < S_m/P_m <... < S₀/P₀,

La (9) è stata qui inserita, come si diceva, soltanto allo scopo di far vedere come può essere complicata la dipendenza di mx' dai generatori a₁,a₂,...,a_n anche solo nel caso n = 3!

Piuttosto che passare quindi al caso n = 4, occupiamoci infine soltanto dello studio di un'altra interessante funzione aritmetica, che diremo N'(a₁,...,a_n), definita come il numero di elementi nell’insieme complementare N' - M'(a₁,...,a_n). Nel caso n = 2 risulta:

(10) N'(a₁,a₂) = (a₁*a₂ - a₁ - a₂ + 1)/2 (cfr. Prop. 3)

(questa identità è un classico risultato di Sylvester; vedi la Bibliografia riportata in [3]).

Intanto, lo stesso tipo di ragionamento usato nella dimostrazione della Prop. 3 conduce subito alla validità della seguente disequazione di Nijenhuis-Wilf:

Invero, se x ed y sono due numeri interi positivi tali che x + y = mx' , al massimo uno solo dei due può essere un elemento di M'(a₁,...,a_n), sicché, per ogni elemento x in M'(a₁,...,a_n), con x < mx'(a₁,...,a_n), si è certi che il numero mx' - x non è elemento di M'(a₁,...,a_n), d’onde l’ovvia conclusione (cfr. ancora [3]).

Alla (11) affiancheremo ora una formula "esplicita" per N' nel caso

n = 3, dopo di aver notato però che alla stima inferiore (11) non si può associare nessuna stima superiore, tranne la ovvia a priori:

Proposizione 7 (Rodseth) - Ferme restando le ipotesi e le notazioni precedenti, in particolare quelle di cui alla Prop. 6 (tra l’altro, che a₁ ed a₂ siano primi fra loro), allora risulta:

(13) 2*N'(a₁,a₂,a₃) = 1 -a₁ + a₂*(S_h - S_h+1 -1) + a₃*(P_h+1 - 1) +

+ S_h+1*(P_h+1 - P_h)*(a₂*S_h - a₃*P_h)/a₁

Nota - Nelle Proposizioni 6 e 7 si è fatto uso dell’ipotesi aggiuntiva che a₁ ed a₂ siano primi tra di loro. Non si tratta di una vera e propria restrizione, poiché si può dare una semplice formula di riduzione (Johnson) per la funzione mx' dal caso "generale" d = MCD (a₁, a₂) > 1, al caso speciale d = 1 (cfr. ancora [4]):

(14) mx'(a₁,a₂,a₃) = d*mx'(a₁/d,a₂/d,a₃) + (d - 1)*a₃ .

Alla (l4) si può affiancate l’analoga formula di riduzione per N':

(14)' N'(a₁,a₂,a₃) = d*N'(a₁/d,a₂/d,a₃) + (d - 1)*(a₃ - 1)/2

Nota - Un "programma" esplicito per il calcolo della funzione mx'(a₁,...,a_n) si trova, tra le altre cose, in [5].

Nota Finale - Il problema di Frobenius, nello stesso caso particolare n = 2 preso in esame nei primi 3 paragrafi di questo scritto, e sempre in relazione con la teoria dei bioritmi, è oggetto anche del Cap. 12 di [6], dove il lettore potrà trovare tutta una serie di interessanti informazioni storiche sulla teoria in questione. In particolare, vi è ricordata la figura del suo creatore, Wilhelm Fliess, e l’amicizia di questi con Sigmund Freud. L’opera di Fliess è in tale sede definita come "un capolavoro di pazzia teutonica"!

[1] Helene Kinauer Saltarini, "Bioritmo", Milano, SIAD, 1977.

[2] Piero Mei, "I bioritmi nello sport. Una nuova scienza spiega certi risultati", Il Messaggero, Roma, 15 aprile 1978.

[3] Ernst S. Selmer, "On the diophantine problem of Frobenius", J. Reine Angew. Math, 1977, pp. 1-17.

[4] Oystein J. Rodseth, "On a linear Diophantine problem of Frobenius", J. Reine Angew. Math, 1978, pp. 171-178.

[5] Harold Greenberg, "An Algorithm for a Linear Diophantine Equation and a Problem of Frobenius", Numer. Math, 1980, pp. 349-352.

[6] Martin Gardner, "La numerologia del Dott. Fliess", in "Carnevale Matematico", Zanichelli, Bologna, 1977.

Umberto Bartocci

Dipartimento di Matematica

Università di Perugia