(La foto, riportata su "Il figlio del Sole...", opera citata nel seguito,
è pubblicata dietro gentile autorizzazione dell'autore.)

Arturo Reghini
e la sua opera dedicata alla matematica pitagorica

(Un'introduzione di Alfonso del Guercio, preceduta da
una nota biobibliografica di Stefano Loretoni)

Presentazione

E' con vero piacere che mi accingo a presentare succintamente Arturo Reghini; mi sono infatti sentito in dovere di fare qualcosa per ricordare la sua elevata figura e la sua opera matematica. Arturo Reghini ebbe una vita molto movimentata, di certo non sempre facile; gli ultimi 16 anni in particolare furono molto duri e difficili e si trovò isolato, spesso senza soldi e senza cibo; durante la seconda guerra mondiale poi questi suoi problemi si acuirono ed aggravarono; eppure fu proprio in questi anni così duri per il suo corpo (ma non per il suo spirito) che egli diede il meglio di sé, tuffandosi con tutta l'anima nello studio dei numeri figurati e dell'analisi indeterminata di secondo grado a valori interi con due incognite. Fanno di Reghini un esempio da elogiare e da ammirare, un esempio da ricordare, io credo, la calma da lui mantenuta stoicamente in momenti difficilissimi della sua esistenza, il suo intenso amore per la conoscenza e per i numeri coltivato ininterrottamente durante tutta la sua vita e mai venuto meno anche in piena zona di guerra, la sua serenità che lo rendeva capace di ammirare la bellezza di un passerotto e di vedervi il segno tangibile della presenza e protezione divina (Reghini si considerava pagano - romano) pur trovandosi egli sotto i bombardamenti, la sua grande fede in un'Italia migliore e degna del suo passato, nonostante intorno a lui si ergessero fumanti le rovine della guerra. Questa è stata la prima ragione per cui mi sono sentito in dovere di fare qualcosa per ricordare quest'uomo stoico e forte.

Ma c'è anche un'altra ragione per cui mi trovo qui a ricordare Reghini. Stando a quanto Roberto Sestito scrive nel suo interessante volume intitolato "Il figlio del Sole - Vita ed opere di Arturo Reghini filosofo e matematico" (a cura dell'Associazione Culturale Ignis, 2003), Reghini avrebbe ultimato una vasta opera in 7 libri, dal titolo "Dei numeri pitagorici", opera rimasta tuttora inedita con l'eccezione del Prologo pubblicato per i tipi della predetta Casa Editrice Ignis. Alla fine di questo Prologo è stata inserita un'appendice contenente alcune lettere che Reghini inviò ai suoi amici; in esse Reghini afferma non solo di aver ultimato l'opera in 7 libri dedicata ai numeri pitagorici, ma anche di aver trovato un metodo pratico ed elementare in grado di risolvere ogni equazione generale indeterminata di secondo grado con due incognite a valori interi che ammetta soluzione, cioè di essere in grado di determinarne effettivamente tutte le soluzioni intere; ed a riconoscere i casi in cui non esistono soluzioni, come ribadisce all'interno del Prologo stesso. In una bella lettera pubblicata nel citato "Il figlio del Sole...", egli sostiene apertamente di aver trovato il modo di trattare l'analisi indeterminata di secondo grado a valori interi con due incognite per una via semplice ed insospettata dagli altri. Il 29 Settembre 1942, riferendosi ai primi due libri della sua opera, Reghini scrive infatti:

"Questi due capitoli (circa quattrocento pagine), potrebbero stare a sé; e trattano una questione fondamentale anche se oggi non di moda: la risoluzione dell'equazione generale indeterminata di secondo grado con due incognite, vale a dire la determinazione teorica e pratica della esistenza delle soluzioni intere, e positive ed intere, dell'equazione, e la determinazione delle formule capaci di dare tutte le soluzioni. Lagrange ha mostrato come, nei casi in cui l'equazione non possa risolversi per altra via, l'equazione generale di secondo grado con due incognite si può sempre ridurre alla trasformata di Lagrange X²-DY² = B od equazione di tipo Pell dove D è un intero positivo qualunque ma non quadrato e B è un intero qualunque positivo o no e diverso da zero e da + 1,-1. Inoltre Lagrange ha risolto l'equazione particolare X²-DY² = 1 od equazione di Pell. Dopo di allora, cioè da circa 170 anni si è ricorso a nozioni elevate per risolvere l'equazione X²-DY² = B e precisamente alla teoria delle congruenze e delle forme quadratiche, con risultati pratici non troppo soddisfacenti. Io ho risolto in modo elementare e completo la questione. Bada bene ho detto elementare; ma questo non significa che sia stato facile e semplice rinvenire la via. Il mio metodo consente di determinare in tutti i casi tutte le soluzioni intere dell'equazione generale di secondo grado, servendomi della prima soluzione intera, e talora fratta con denominatore opportuno, dell'equazione di Pell, per determinare tutte le soluzioni intere della trasformata di Lagrange. Così il problema è pienamente risolto, e per opera di italiani! Il primo libro è dedicato essenzialmente a quanto è necessario e sufficiente per risolvere la questione; il secondo è dedicato alla trattazione di questioni teoricamente non necessarie, ma praticamente indispensabili per l'effettiva risoluzione dell'equazione tipo Pell o trasformata di Lagrange rendendo più semplici e rapidi i calcoli altrimenti laboriosi ed incerti. Per superare questo scoglio preliminare e risolvere completamente l'equazione di secondo grado mi ci sono voluti tre anni di lavoro che possono apparire pochi o molti a seconda del punto di vista. L'ultima parte soprattutto mi ha fatto faticare perché nonostante l'apparente semplicità della questione si tratta di un vero ginepraio. Per darti un'idea dei risultati pratici ottenuti ti dirò che in poche ore ho potuto col mio metodo risolvere l'equazione X² - 30Y² = B prendendo per B il numero che si ottiene moltiplicando tra loro i primi quattro numeri dispari di tre cifre, cioè 101, 103, 105, 107. Ho preso questo numero perché manifestamente non è addomesticato. Risolvere l'equazione significa determinare la prima soluzione che è X = 11265, Y = 578, la seconda che è X = 11745, Y = 838, determinare effettivamente altre quattordici soluzioni e dare vari tipi di formule capaci di dare tutte le soluzioni e tra le altre le formule generali capaci di dare la ennesima soluzione. Tutto questo è ottenuto con le nozioni elementari di algebra. In questo modo diviene possibile la trattazione elementare delle forme quadratiche, e la determinazione di tutti i punti del reticolato intero cartesiano per i quali passa una conica di equazione assegnata."(1)

Ecco un altro passo tratto da una lettera del 1944:

"Dal punto di vista matematico è stato mio intendimento riportare la trattazione dell'aritmetica alla sua antica maniera, ossia tornare agli inizii della teoria dei numeri. In sostanza la risoluzione dell'equazione generale di secondo grado con due incognite costituisce il passo iniziale di questo argomento e si può considerare una irrisione che la matematica moderna debba ricorrere a nozioni di aritmetica superiore come la teoria delle congruenze e delle forme quadratiche per risolvere o meglio tentare di risolvere un'equazione così semplice come la X^2 - DY^2 = B. Questo primo passo è stato ora fatto. Il resto verrà per opera di altri. L'opera ha trasceso le mie forze; ma a parte gli errori e lo stato lontano dalla perfezione cui miravo molto è stato ottenuto e spero che si ponga mente soprattutto ai risultati positivi e non a quelli negativi. Nel Prologo sono contenuti i riferimenti al problema generale della scienza pitagoricamente considerata. Ho anche avuto l'intendimento di fare opera che onori la mia patria terrena [cioè l'Italia - N.d.C.] destinata malgrado tanti errori ed orrori ad un'avvenire e ad una funzione degna del suo passato sotto la guida degli Dei . Mi rincresce non essere stato capace di fare di più. Il tempo stringe e Gnosis ed Ananke non mi permettono altro."(2)

Un altro passo tratto dal Prologo:

"Siamo così pervenuti a risolvere in modo pratico ed elementare ogni equazione generale indeterminata di secondo grado con due incognite che ammetta soluzione, cioè a determinarne tutte le soluzioni intere; ed a riconoscere che non ammette soluzione quando non la ammette. Mediante l'applicazione di questo metodo e senza ricorrere minimamente alla teoria delle congruenze e delle forme quadratiche abbiamo risolto numerose questioni relative ai numeri pitagorici; altre infinite si possono risolvere applicando il nostro metodo. Non siamo invece riusciti a risolvere l'equazione indeterminata di terzo grado, e sin tanto che non si sappia risolvere tali equazioni le più interessanti questioni relative ai numeri piramidali e poliedrici non potranno essere pienamente investigate."(3)

Ecco un passo tratto da un'altra bella lettera datata 21 Aprile 1946:

"Feci in tempo a procurarmi gran parte del materiale quando ero in Roma. Poi ho lavorato a Bologna ed a Budrio, sprovvisto di libri (dovetti lasciare a Roma la mia biblioteca che si è salvata ma che non ho a disposizione) ma provvisto di tempo e di tranquillità. Vi ho lavorato assiduamente per circa otto anni, nonostante la presenza dei tedeschi in casa, le incursioni degli aeroplani e l'incertezza di potere salvare me e la mia opera. Un giorno che ero intento col lavoro con questa stessa macchina da scrivere e con i fogli del mio lavoro sulla sedia accanto rotolò dalla finestra un passerotto non di nido che venne a posarsi sopra il lavoro e che si lasciò prendere tranquillamente. Vidi nel fatto un vero e proprio auspicio; la protezione celeste sopra il mio lavoro [Reghini intendeva la protezione degli Dei di Roma - N.d.C]. Esso è ora terminato ma non vi è da pensare alla pubblicazione. Occorrerebbero almeno due milioni. Io sono bloccato in Budrio dalla miseria e dalle enormi difficoltà di movimento che non mi hanno ancora consentito di fare una gita a Roma ed a Firenze; che occorrerebbe tempo ed almeno una decina di migliaia di lire. E sebbene abbia conseguito risultati di primo ordine e sia questa la prima volta che l'argomento dei numeri pitagorici sia trattato sistematicamente e completamente perché ho trovato il modo di trattare praticamente la questione dell'analisi indeterminata di secondo grado in due incognite con una via semplice ed insospettata dagli altri so benissimo che questi argomenti non interessano i matematici ed inoltre non ho nel campo matematico autorità alcuna e nessuno si interesserebbe di me. Probabilmente il mio lavoro resterà inedito, e va a finire che ne farò un bel falò, dopo aver lasciato quel tanto che dimostri che ero giunto a risultati cui gli altri non sono pervenuti."(4)

Sempre dalla stessa lettera vale la pena riportare il racconto di quando Reghini si venne a trovare nel bel mezzo fra tedeschi ed angloamericani:

"...e sono cominciate le difficoltà e le ostilità di ogni specie: i fascisti, gli sfollati, i tedeschi che si sono installati in casa anche per dieci mesi e ci hanno costretto a chiudere la scuola (ho guadagnato ottanta lire in un anno!) poi i bombardamenti aerei di giorno e di notte ed infine il bombardamento dell'artiglieria inglese e tedesca per quattro giorni e quattro notti ininterrotte. La nostra casa si trova ad un crocicchio importante poco lontano da un ponte sull'Idice il cui forzamento ha deciso della vittoria. Sulla sola facciata est vi sono oltre cento segni di proiettili e di schegge; una quercia di oltre un metro di diametro è stata stroncata in pieno, e di sette panchine in pietra ne è rimasta una; gli alberi tutti lacerati e stroncati e così via. Non fu possibile costruire rifugi degni di questo nome perché ad un metro e mezzo da terra si trova l'acqua. Lasciare la casa equivaleva farla distruggere dai tedeschi; il 18 Aprile i tedeschi stavano attendendo il buio per lasciarci definitivamente e Milla aveva aperto il portone per permettere al loro camion di portarli via quando una scheggia di proiettile feriva Camilla al collo a pochi metri da me. Accorse pronto un tedesco che doveva essere un infermiere e sotto il tiro e alla luce di una pessima candela, la fasciò arrestando l'emorragia e dicendo che occorreva portarla all'ospedale (era leso il nervo del braccio come poi sapemmo); tutto questo potei capire alla meglio. Poi i tedeschi partirono e il bombardamento continuò. Più che mai era impossibile lasciare la villa con una donna ferita e le strade e i campi spazzate dalle granate. Oltre a queste ci presero di mira anche gli aeroplani e non starò a dirti quante volte sono rimasto miracolosamente incolume. Un quarto di bue era stato trovato in mezzo alla strada, ma non fu possibile cucinarlo perché costretti a rifugiarci in quella che sembrava la stanza meno esposta. La mattina del 20 in una grande pace improvvisa sorgeva un'alba livida nelle strade e nei campi deserti, poi alle 9 arrivarono i neo-zelandesi e cominciò il bombardamento tedesco particolarmente rabbioso. Ci mettemmo in una stanza dalla parte opposta ed un enorme carro armato ci proteggeva dalla parte della finestra; io dormii tranquillamente, anche russando a quel che pare. Non ho mai perso la calma e la tranquillità..."

Ecco un passo tratto invece da una lettera datata 5/12/1946 con la quale Camilla Partengo (sua cara amica e direttrice della scuola privata "Quirico Filopanti" di Budrio fondata da Enrico Salvi) dava la notizia ad Amedeo Rocco Armentano (che Reghini considerava suo maestro) della morte di Reghini:

"Egli ha sempre lavorato con tenacia inflessibile per portare a termine (e vi è riuscito) la sua geniale opera matematica, noncurando pericoli e disagi di guerra. Egli rimaneva per ore ed ore al suo tavolo di lavoro, impassibile anche quando le grosse formazioni aeree di bombardieri volteggiavano sulla nostra villa in cerca dell'obbiettivo bellico costituito da un ponte sul fiume Idice, a poca distanza da noi."(5)

Nell'Introduzione al Prologo, Roberto Sestito scrive:

"L'intero lavoro sui "Numeri Pitagorici", diviso in tre parti, Sette Libri ed un Prologo, fu affidato per la revisione della parte matematica, a un matematico fiorentino, il Professor Alfonso Del Guercio che svolse egregiamente il suo compito senza peraltro assumersi responsabilità in ordine alla stampa e alla divulgazione del manoscritto. Il pregevole sforzo di Del Guercio non andò oltre la compilazione di un Sommario dei primi due Libri, preceduto da una nota introduttiva, e seguito dall'Indice Generale che fu pubblicato dalla Editrice Atanòr di Roma nel 1978."(6)

L'Introduzione che del Guercio fece all'opera in questione, il riassunto dei primi due libri dell'opera e gli Indici Generali sono reperibili alla Biblioteca Nazionale di Roma, e si trovano in un'appendice del volume "Per la restituzione della geometria pitagorica - i numeri pitagorici nella loro forma primitiva", edizione Atanòr, Roma 1978. La detta Introduzione e gli Indici sono riproposti qui di seguito. Mi è sembrato utile ripresentarli all'attenzione generale ed in particolare all'attenzione dei matematici, gli unici veramente in grado di valutarli compiutamente sotto l'aspetto strettamente matematico alla luce delle conoscenze scientifiche odierne e di esprimere un giudizio tecnico in merito.
 
 

1878- Arturo Reghini nasce a Firenze il 12 Novembre.

1898- Entra nella Società Teosofica e ne fonda la sezione romana.

1902- Iniziato al Rito di Memphis di Palermo (fonte G. Parise).

1903- Fonda la Biblioteca Teosofica che prese poi il nome di Filosofica.

1905- Fonda la loggia " Lucifero " di Firenze all'obbedienza del G.O.I..

1906- Partecipa alla fondazione della rivista "Leonardo".

1910- Conosce Amedeo Rocco Armentano, che lo conduce al Passo del Vestito, una suggestiva località montana sita sulle Alpi Apuane (si incontra percorrendo la strada che parte da Carrara e che conduce nel cuore delle Alpi Apuane, a oltre 1000 metri di altitudine). Poco prima di cominciare la discesa verso la pianura emiliana, dietro gli arbusti di montagna, si nasconde un precipizio, un salto nel vuoto di centinaia di metri. Dopo un'ascesa irta di difficoltà e di pericoli, ivi Reghini fu lasciato cadere nell'oscuro baratro della coscienza. Si presume che la prova sia stata positivamente superata, poiché subito dopo ebbe inizio il discepolato vero e proprio. Questa prova avvenne nel solstizio d'Inverno del 1910 e fu seguita da un non facile tirocinio durato alcuni mesi. Il cambiamento operatosi in Reghini fu notato dagli amici che frequentava; a scoprire un uomo più lucido e più sicuro di sé furono anche i dirigenti della Biblioteca Filosofica con i quali Reghini iniziò un difficile braccio di ferro allo scopo di impedire agli esponenti di fede teosofica e steineriana come Herron, Jasiuk, Campani, Assagioli, il controllo del prestigioso ente culturale, dove si tenevano conferenze e dove l'occultismo era uno degli argomenti che più incuriosiva ed affascinava il numeroso e colto pubblico.

1912- Entra nel Supremo Consiglio Universale del Rito Filosofico Italiano.

1914- Si dimette dal Rito Filosofico Italiano.

1914- Nella prima fase della sua vita, Reghini trascurò gli studi ordinari per coltivare i suoi interessi occultistici ed in particolare la teosofia, di cui fu uno dei primi rappresentanti in Italia (era in contatto diretto con la Besant). Rimasto deluso da queste esperienze, e accresciuto il suo disinteresse verso gli studi e la vita in generale, fu salvato da questa crisi dall'amico Armentano, che lo spinse anche a terminare gli studi matematici. Prima dell'estate si laureò infatti a Pisa in matematica col massimo dei voti e con la lode, discutendo la tesi alla presenza dei professori Bianchi, Dini e Pizzetti. Bianchi lo elogiò pubblicamente riconoscendo in lui le doti del genio matematico.(8)

1914- Entra a far parte del movimento futurista e del comitato direttivo di "Lacerba". Fin dalla seconda metà del 1913, mentre maturava il distacco dal Rito Filosofico Italiano, Reghini si andava affermando con crescente soddisfazione di amici e conoscenti nei numerosi circoli che frequentava. Era al centro dell'attenzione del gruppo dei futuristi e delle riviste letterarie come "Lacerba", che ospitavano l'avanguardia della cultura e del pensiero italiani. Fu difensore abile e convincente di Papini, che si era cacciato in un mare di guai per un articolo su "Gesù peccatore" che aveva scatenato le ire del mondo cattolico e della magistratura; prese anche apertamente le difese di Italo Tavolato, anche egli nei guai per la presunta immoralità di un articolo sul "Lacerba". A Firenze si mormorava che il vero capo dei futuristi fosse lui e che il futurismo non fosse un movimento animato solo da ambizioni artistiche e letterarie ma che in esso si occultasse un'anima filosofica e pagana. E' stato scritto che: "il patriottismo italico di Reghini si presenta più come un prolungamento dell'antico patriottismo romano che come una manifestazione di sciovinismo in senso moderno. Per comprendere il significato profondo del patriottismo reghiniano bisogna capire che egli riteneva romano soltanto il modello di un'Italia unita e governata da Roma, perché tale e non altra fu l'Italia che Roma volle; considerava invece non romano il modello di quell'altra Italia che la politica di una Roma esclusivamente papale, d'intesa con vari potentati stranieri, mantenne sempre disunita e non di rado asservita fino al Risorgimento, che celebrò appunto il riemergere dell'idea di un'Italia romana"(9). Reghini si sentiva quindi anche grato nei confronti di personaggi come Macchiavelli e Napoleone. "Macchiavelli fu infatti il fiero avversario della divisione politica d'Italia, Napoleone risvegliò gli italiani che militarono valorosamente sotto le sue bandiere dalla sonnolenza mediocre nella quale vivacchiava la vecchia Italia, che Metternich considerava, non senza dati i tempi una parte di ragione, una semplice espressione geografica, cioè in altre parole, un oggetto e non un soggetto della grande storia. Per intendere appieno il significato del patriottismo di Reghini occorre inoltre preliminarmente superare il punto di vista secondo il quale le nazioni sarebbero esclusivamente un portato della modernità, al più un'idea ottocentesca. Per Reghini quella ottocentesca non fu che la riscoperta della dignità del principio della nazionalità che anticamente poggiava sopra fondamenti sacri e tradizionali. Essi erano metafisicamente definiti dalla dottrina degli etnarchi, ovvero degli Dei nazionali, così esposta dall'imperatore Giuliano: "Dicono i nostri che il Creatore è comun padre e Re di tutti, ma che per il rimanente ha distribuito le nazioni a Dei nazionali e cittadini, ciascuno dei quali governa la propria parte conformemente alla sua natura"(10)". Col suo patriottismo Reghini poneva anche "un argine all'inveterata tendenza che non esita ad attribuire il carattere romano a qualunque potere purché sia imperiale, anche se sempre più avulso dalle sue radici romane ed italiche e sempre più connesso solamente alla persona degli imperatori, che finisce per seguire ovunque: non solo a Bisanzio, ma anche ad Aquisgrana, ad Arles, a Francoforte, a Ratisbona, a Madrid, a Vienna e persino a Mosca! Inoltre, l'attenzione attirata da Reghini sulla realtà nazionale, che precede logicamente quella imperiale, implica la tendenza positiva, per quanto riguarda il retaggio della Romanità antica, di estendere l'idea di tradizione al periodo repubblicano, superando così la concezione secondo cui l'unica Tradizione Romana da coltivare sarebbe stata quella imperiale". Infatti "quando l'antica Roma si affacciò alle soglie dell'impero aveva già alle sue spalle secoli di vita della più degna compagine statuale che la storia antica ricordi". Reghini fece sua la "visione dell'antica Respublica del glorioso S.P.Q.R. come di un tutto organicamente e gerarchicamente ordinato che aveva la sua maggiore espressione in un corpo politico di ottimati, profondamente radicato nella tradizione nazionale e vigile custode della medesima: il Senato, che ebbe origine come consiglio di Re". Reghini si rammaricava inoltre che "la politica della chiesa avesse impedito all'Italia di costituirsi in nazione quando invece Inghilterra, Germania, Francia e Spagna vi erano riuscite". Gli amici più intimi si ricordavano bene del Reghini di qualche anno prima delle celebrazioni del 21 Aprile, Natale di Roma, al Campidoglio e del suo acceso amore per l'idea imperialista. Il più probabile anno di nascita del suo imperialismo è il 1910. Il potere imperiale, per Reghini, non doveva e non poteva di certo basarsi sulla sopraffazione, sulla prepotenza e sulla forza bruta, ma sulla sapienza e sulla conoscenza. Come giustamente è stato fatto notare, Reghini disse e scrisse tutto quel che era necessario per restituire l'Italia alla sua antica potenza e gloria, basate certo non sulla discriminazione e sulla violenza, ma sulla forza delle idee e dello spirito. Tutto il gruppo pitagorico era animato dagli stessi sentimenti e fin dal suo ingresso in massoneria lo si udì dichiararsi favorevole ad un ideale politico elitario e pagano. Sei mesi prima che apparisse l'articolo "Imperialismo Pagano" sulla rivista "Salamandra" aveva detto di volersi dedicare ad un "serio lavoro" perché avvertiva la necessità di fare qualcosa di speciale per il nostro Paese che gli servisse per una futura base politica. Alla direzione di "Salamandra" giungevano lettere di protesta per il forte contenuto anticristiano e si gridava allo scandalo. Il gruppo futurista (Papini, Tavolato, Soffici, Palazzeschi) prese molto sul serio il lavoro di Reghini, pur criticandone "l'impostazione passatista"; molti giovani che frequentavano i caffè letterari di Firenze rimasero affascinati dal suo patriottismo e vi fu qualcuno come Daübler, poeta lirico raffinato, che travolto dal nuovo misticismo imperialista, compose gli inni all'Italia di esuberante bellezza. Papini fece dell'ironia dichiarandosi scettico sulle possibilità di successo di un movimento politico pagano. Nel corso di un confronto molto animato, presente l'intero movimento futurista, Reghini chiarì all'amico scrittore le ragioni filosofiche e meta-politiche dell'idea imperialista. Dopo una lunga stretta di mano Papini gli chiese una maggiore collaborazione a "Lacerba". L'articolo, dieci anni dopo, nel Marzo 1924 fu ristampato su "Atanòr" nonostante si trattasse di un lavoro datato e richiese da parte dell'autore un'opportuna introduzione. Reghini però non fu un uomo anti - religioso e combatté il cristianesimo come avrebbe fatto un filosofo pitagorico o un senatore romano, dando di volta in volta ai suoi argomenti motivazioni metafisiche e metastoriche. E' stato scritto che: "il paganesimo di Reghini si sdoppia nelle direzioni di un pitagorismo (speculativo ed iniziatico) e di un romanesimo fondante la concezione ieratica di una politica di rinnovamento nazionale".

1917- Parte volontario per il fronte come Ufficiale del Genio Militare.

1918- Termina ad Este (Padova) il servizio militare ed è trasferito a Roma.

1920- Professore di matematica nell'isola d'Elba.

1921- Entra nel Supremo Consiglio dei 33 del R.S.A.A. (Rito Scozzese Antico Accettato) di Piazza del Gesù.

1922- Scrive "Le parole Sacre e di Passo" nella torre Talao, una splendida torre sita su di un isolotto vicinissimo alla costa di Scalea, in Calabria. All'epoca la torre era di proprietà di Armentano; lì i pitagorici si riunivano per praticare i loro esercizi spirituali.

1923- Il 18 Dicembre fonda a Roma l'Associazione Pitagorica.

1924- Fonda la rivista "Atanòr". Partenza per il Brasile del maestro Armentano.

1925- Fonda la rivista "Ignis".

1926- Traduce dal latino "La filosofia occulta" di Enrico Cornelio Agrippa e ne scrive l'Introduzione.

1927- Traduce dal francese il libro di René Guénon "Il Re del Mondo" e ne scrive l'Introduzione. Reghini viveva la realtà del suo tempo con superiore distacco, come poteva viverla un pitagorico. Non troviamo in nessuno suo scritto quel fatalismo talvolta angosciante che riscontriamo in Guénon. La sfiducia che Guénon aveva seminato in tutti gli ambienti occultistici con la teoria della crisi del mondo moderno e con la ineluttabilità della fine del ciclo, aveva spinto molti esoteristi in buona fede a ricercare nel mondo orientale un rifugio sicuro in previsione del peggio. Reghini invece rimase sempre saldamente ancorato alla tradizione classica elleno-romana e pitagorica. Quando intuiva che le circostanze gli erano avverse, Reghini trovava sempre un'energia aggiuntiva per affrontarle, reagiva al naturale scetticismo, anche ricorrendo a mezzi apparentemente banali. Neppure una volta gli passò per la mente l'idea che la storia marci in una sola ed unica direzione (positiva o negativa che sia) lasciandosi alle spalle porte chiuse ed equazioni irrisolte. Reghini in questo senso è un filosofo schiettamente rinascimentale e leonardesco. Reghini era convinto che dopo la caduta dell'impero romano e la chiusura delle scuole filosofiche per opera dei cristiani soltanto il Rinascimento avesse fatto lo sforzo più serio per spezzare il blocco politico che garantiva al cristianesimo il dominio totale sulla società civile, sull'arte, sulla cultura e in definitiva sulle coscienze degli uomini. E mentre Guénon vedeva nella rottura con la filosofia scolastica del medioevo una brusca accelerazione nel distacco dell'occidente dalla Tradizione Metafisica, Reghini al contrario considerava la Rinascenza un salutare risveglio dell'anima italica e pagana verso la riscoperta delle sue antiche radici sapienziali.

1927- Insieme a Giulio Parise e Julius Evola fonda la rivista "UR". "Il pitagorismo di Reghini, oltre ad una dimensione teoretica da lui validamente interpretata specialmente sotto il profilo matematico, comporta anche una valenza più strettamente iniziatica che traspare ad esempio chiaramente dalla versione commentata degli aurei detti di Pitagora apparsa sulla rivista UR(11) ed alla quale pose mano lo stesso Reghini, secondo quanto ebbe a riferire Massimo Scaligero". "L'orizzonte tradizionale di Reghini tuttavia comprendeva anche la Tradizione Romana tout court (sulla quale peraltro il pitagorismo venne ad innestarsi, così come simboleggiato dall'innalzamento nel Foro di una statua di Pitagora dopo che ebbero termine le guerre sannitiche) la quale affonda le sue radici in quell'antichissimo Lazio sul quale, secondo un antico mito italico, regnò felicemente il Re Giano", seguito da Saturno. Su tale Tradizione Reghini scrisse pagine memorabili. In un suo saggio intitolato "Della Tradizione Occidentale" apparso su "UR" e da lui scritto con lo pseudonimo di Pietro Negri, Reghini si adoperò per:

1 - Contrastare tutti coloro che affermavano che Roma antica non aveva mai posseduto una propria specifica tradizione iniziatica, o addirittura una propria spiritualità.

2 - Spiegare perché è probabile o perlomeno verosimile che una tradizione iniziatica pagano-romana sia giunta ininterrottamente fino ai nostri giorni.

3 - Contestare l'occidentalità del cristianesimo.

4 - Individuare nel simbolismo agricolo il linguaggio iniziatico specificamente romano.

5 - Indicare nel mito di Giano e Saturno, che fa uso di questo simbolismo, il nucleo centrale dell'iniziazione romana.

"Reghini pertanto rese testimonianza in favore di una costante immanenza sacrale della Tradizione Romana. E' questo il dato di fondo che permette di comprendere il particolare orientamento della sua visione metapolitica, che sarebbe erroneo e riduttivo voler ascrivere soltanto ad un laicismo illuminato e deista di stampo massonico". In questo periodo della sua vita il suo nome venne inserito come primo di un elenco di persone sgradite alla chiesa, da mandare al confino.

1929- Rottura con Evola e riapparizione della rivista IGNIS.

1931- Scrive la "Restituzione della Geometria Pitagorica", lodato dall'Accademia dei Lincei e premiato dall'Accademia d'Italia.

1935- Scrive il saggio sul "Fascio Etrusco".

1937- Inizia le ricerche a Roma sui numeri pitagorici e subito dopo, nel 1939, si trasferisce a Budrio (Bologna) per insegnare nella scuola privata "Quirico Filopanti" fondata da Enrico Salvi e successivamente diretta, dopo la morte di quest'ultimo, da Camilla Partengo.

1940- Negli anni della guerra termina di scrivere a Budrio l'opera in sette libri e un prologo intitolata "Dei numeri Pitagorici".

1946- 1⁰ luglio: muore a Budrio (BO), ed è lì sepolto nel piccolo cimitero della Pieve. Morì con lo sguardo rivolto al sole e con un libro in mano, quasi simboli di una vita consacrata allo spirito e alla conoscenza.
 

Delle opere e degli articoli notevoli di Arturo Reghini

Mors Osculi - Pubblicato nella rivista "Leonardo" 1906, ristampato in "Ignis", n.1 giugno 1990.

Istituzioni di Scienza Occulta - "Leonardo" 1906 ristampato in "Ignis" dicembre 1992.

La massoneria come fattore intellettuale - "Leonardo" 1906 e "Ignis" dicembre 1990.

La pensée esoterique de Leonard de Vinci - di Paul Vulliaud, nella rubrica "Occultismo e Teosofia" del "Leonardo" 1906.

Giordano Bruno smentisce Rastignac - "Leonardo" 1906.

La legge suprema - "Leonardo" 1907.

Il punto di vista dell'occultismo - "Leonardo" 1907 e "Ignis" giugno 1991.

Il dominio dell'anima - conferenza tenuta nel 1907 alla Biblioteca Filosofica pubblicata in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

La vita dello spirito - conferenza tenuta nel 1907 alla Biblioteca Filosofica pubblicata in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

I santi padri della teosofia - (Besant, Leadbeater, Steiner), 1913, inedito.

La tragedia del Tempio - "Salamandra" 1914; "Mondo Massonico" 1915;"Il Ghibellino", febbraio 1981.

Imperialismo Pagano - "Salamandra" 1914; "Atanòr" 1924.

La Tradizione Italica - "Ultra" 1914.

Del simbolismo e della filologia in rapporto alla sapienza metafisica "Ultra" 1914; ristampato in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina 1986.

Aforismi - annata 1914 in "Lacerba".

La legge delle Guarentigie - "Rassegna Contemporanea " diretta dall' On.le G.A. Colonna di Cesarò, giugno 1915, Roma.

L'Abisso - luglio 1915, inedito.

I misteri Egiziani e Pitagorici - luglio 1915, inedito.

Il senso della realtà - conferenza tenuta alla Società Teosofica di Roma, pubblicata in "Nuovo Patto", giugno 1920 e in "Ignis" dicembre 1991.

Dante e la massoneria - "Rassegna Massonica" Roma,1921, Londra, 1921.

L'allegoria esoterica in Dante - "Nuovo Patto" settembre 1921, ristampato in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina 1986.

Le domande del testamento massonico - "Nuovo Patto " settembre 1921 e "Rassegna Massonica", 1921.

Meditantur sua stercora scarabei - "O Thanatos", maggio 1923.

Le radici essenziali del 19 e del 10, in "O Thanatos", luglio 1923.

Le parole sacre e di passo dei primi Tre Gradi ed il massimo mistero massonico - "Atanòr", Todi, 1922; "Atanòr", Roma, 1987.

Noterelle iniziatiche - con questo titolo apparvero alcuni articoli sulla "Rassegna Massonica", 1923.

S.J.: Ad Majorem Dei Gloriam - "Rassegna Massonica" giugno 1923, "Ignis" giugno 1991.

Le solite menzogne - "Rassegna Massonica" maggio-giugno 1923.

L'Ermeneutica della Fenice - "Rassegna Massonica" giugno 1923.

Cronistoria di un dissidio - Fasti e metodi del G.M. del martinismo - 1923, ristampato in "Il figlio del Sole - Vita ed opere di Arturo Reghini Filosofo e matematico", Associazione Culturale Ignis, 2003, pagine 142 -147.

Aohe, che Lampione ! - "Rassegna Massonica", giugno 1923.

Le basi spirituali della Massoneria - "Rassegna Massonica" agosto-settembre 1923 ristampato in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

Sull'origine del simbolismo muratorio - "Rassegna Massonica" giugno-luglio 1923 e in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

Libertà e gerarchia - "Rassegna Massonica" novembre 1923 e in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

L'intolleranza cattolica e lo Stato - "Rassegna Massonica" agosto-settembre 1923 e in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

Il Veltro - apparso sulla rivista "Impero" diretta da Settimelli, aprile 1924 e ristampato in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

L'iniziazione democratica - "Rassegna Massonica" gennaio-febbraio 1924 e in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

Si può dire Massoneria? - "Rassegna Massonica" N.6 1924 e in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

L'universalità romana e quella cattolica - in "Vita italiana" diretta da Giovanni Preziosi, agosto-settembre 1924.

La morale ed il lavoro massonico - "Era Nuova", 1925 ristampato in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

Primi contatti tra Ermetismo e Massoneria - "Era Nuova" N.4 1925 e in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina, 1986.

Articoli pubblicati in Atanòr (1924)

L'Atanòr - "Atanòr" n.1-2.

L'impronta pitagorica nella Massoneria - n. 1-2 (prima parte), n.7 (seconda parte), n. 8-9.

Chiaroveggenza e scuroveggenza - n. 1-2.

Una rinascita pitagorica - n. 1-2.

La rubrica Vexatio stultorum, ovvero la Sinagoga degli ignoranti, a firma "il Vicario di Satana".

La rubrica Tra libri e riviste.

La rubrica Associazioni Vecchie e nuove.

Campidoglio e Golgota - n.5 maggio.

Massime di Scienza iniziatica - commento - n. 5 e n. 6.

Con le molle - n. 6.

Nuvole nere - n. 7.

Il giardino dei filosofi, agosto - settembre.

Il patriottismo della Massoneria italiana, ottobre - novembre.

Preti ed impero, ottobre - novembre.

Orient et Occident di René Guenon, ottobre - novembre.

Elogi e critiche di Atanòr, ottobre - novembre.

A proposito di gerarchia, dicembre.

Articoli pubblicati in Ignis (1925)

Cagliostro - in documenti inediti del Sant'Uffizio (prima e seconda parte) n. 1-2 e n.3.

Il fachiro Kir Tor Kal - n. 1-2.

Una pagina ermetica e cabalistica di Osvaldo Croll - n.1-2.

La rubrica Associazioni vecchie e nuove.

Brevi note sul Cosmopolita - (prima e seconda parte) n.3 e n.4-5.

La rubrica Vexatio stultorum a firma il Vicario di Satana.

Le quarantene spirituali - (prima e seconda parte) n.4-5 e n. 6-7.

La rubrica tra libri e riviste.

La legge contro le società segrete - n. 6-7.

Ex-imo - n. 8-9.

Un'ode alchemica - n. 8-9.

Una pagina esoterica di Cagliostro - n. 8-9.

L'autorità imperiale e la sapienza - n. 8-9.

Le proposizioni del rituale della Massoneria egiziana - n.10.

Eccessi di parte guelfa - n.10.

Massime di scienza iniziatica - Commento, n.11-12.

Sulla quaresima iniziatica - n.11-12.

Articoli apparsi su Ignis (1929)

Ai lettori.

Imperialismo Pagano a firma Rasena.

Ram e il suo scongiuro.

La crisi del mondo moderno di René Guénon (inedito).

Lo spaccio dei maghi di M. Rossi (inedito).

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Per il XX Settembre - In "Era Nuova" 1925.

Trascendenza di spazio e tempo (prima e seconda parte) su "Mondo Occulto" marzo - aprile 1926, ristampato in "Paganesimo, Pitagorismo, Massoneria", Messina,1986.

La filosofia occulta o la magia di Enrico Cornelio Agrippa - traduzione ed introduzione, Fidi editore, 1926 - Edizioni Mediterranee, Roma, 1972.

Articoli apparsi su UR

Conoscenza del simbolo

Sub specie interioritatis

Avventure e disavventure in Magia

Un codice plumbeo alchemico italiano

Ai lettori

Dell'opposizione contingente allo sviluppo spirituale

Della Tradizione Occidentale (prima e seconda parte)

Il linguaggio segreto dei fedeli d'Amore

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I fasti dell'autarca in "Patria", Aprile 1929, ristampato in "Ignis" N.2/ 1993.

L'interdizione pitagorica delle fave in "Studi Iniziatici" 1948 - 1949 - 1950, completato in "Kemi -Hathor" N.41 - Agosto 1989.

Per la restituzione della geometria pitagorica - Casa Editrice "Ignis", 1935, Roma, Atanòr, Roma, 1978.

Il fascio littorio in "Docens" N. 10-11, 1934, ristampato col titolo "Il simbolismo duodecimale e il fascio etrusco", Il Basilisco, Genova, 1981.

Considerazioni sul rituale dell'apprendista libero muratore con una nota introduttiva sulla vita e sull'attività massonica dell'Autore, a cura di Giulio Parise, Edizioni di Studi Iniziatici, Napoli, 1946, ristampato da Phoenix, Genova, 1981.

I numeri sacri nella tradizione pitagorica e massonica Edizioni di Studi Iniziatici, Napoli, 1946, ristampato da Atanòr, Roma, 1978.

Il Re del mondo di René Guénon, traduzione ed introduzione - Edizioni di Studi Iniziatici, Napoli, 1946.

Dei numeri pitagorici (Prologo) Casa Editrice Ignis, Ancona, 1991.

Dei numeri pitagorici (libri sette) Inedito.

Aritmosofia Arché, Milano, 1980, ristampato Pizeta 2000.

Escritos sobre a Maçonaria con un saggio introduttivo di Roberto Sestito, Hugin Lisbona, 2003

La casa editrice Arché di Milano ha curato la traduzione e la pubblicazione in lingua francese delle maggiori opere e raccolte di articoli.

La Tradizione Occidentale (terza parte) inedito.

Pseudonimi usati da Arturo Reghini

Alaya

Eques ab astro

Fratello terribile

Maximus

Il vicario di Satana

Pietro Negri

Rasena

(1) Dalla lettera a Moretto Mori del 29 Settembre 1942, tratta dalle pagine 109-110 del Prologo all'opera "Dei numeri Pitagorici", Casa Editrice Ignis.

(2) Dalla lettera scritta durante il Solstizio d'Estate del 1944, tratta dalla pagina 114 del Prologo all'opera "Dei numeri Pitagorici", Casa Editrice Ignis.

(3) Dal capitolo tredicesimo del Prologo all'opera "Dei numeri Pitagorici", Casa Editrice Ignis, pp. 78-79.

(4) Dalla lettera ad Amedeo Rocco Armentano del 21 Aprile 1946, tratta dal volume "Il figlio del Sole - Vita ed opere di Arturo Reghini filosofo e matematico" di Roberto Sestito - Associazione Culturale Ignis, 2003.

(5) Dalla lettera che Camilla Partengo scrisse ad Amedeo Rocco Armentano il 5/12/1946, tratta dal volume "Il figlio del Sole - Vita ed opere di Arturo Reghini filosofo e matematico"di Roberto Sestito - Associazione Culturale Ignis, 2003.

(6) Dall'introduzione al Prologo all'opera "Dei numeri Pitagorici", Casa Editrice Ignis, p. 10.

(7) Le informazioni contenute in questa crono-biografia sono state interamente desunte dal libro "Il figlio del Sole - vita ed opere di Arturo Reghini Filosofo e matematico", di Roberto Sestito, Associazione Culturale Ignis, 2003. Le considerazioni invece sul contenuto del saggio di Reghini intitolato "Della Tradizione occidentale" apparso su "UR" sono del curatore. Infine le informazioni prese da altre fonti sono state adeguatamente segnalate nelle note.

(8) Luigi Bianchi (1850-1928) fu tra i maggiori matematici italiani, professore alla Scuola Normale di Pisa e docente all'Università di Pisa. Fu senatore del Regno. Celebri i suoi trattati sulla geometria differenziale e sui numeri algebrici.

(9) Dove non espressamente indicato, in diverse voci di questa Crono-biografia ci si rifà all'articolo "Risposta ad un critico di Arturo Reghini" di Piero Fenili, N. 2 della rivista "Ignis", Dicembre 1990, Casa Editrice Ignis.

(10) "Contro i Cristiani", in A. Rostagni "Giuliano l'apostata, Saggio critico con le operette satiriche tradotte e commentate", Torino, 1920, p. 309.

(11) "Pitagora, gli Aurei Detti", versione a cura di Tikairos e commento, con la cooperazione di Henìokos Aristos, "UR - Rivista di scienze esoteriche", anno II, num. I-II, Gennaio-Febbraio 1928, pp. 3- 10.

(12) Questa bibliografia è interamente tratta dall'opera "Il figlio del Sole...", loc. cit., ad eccezione di due piccole integrazioni ad opera del curatore su segnalazione del Dott. Christian Scimiterna.
 

Ringraziamenti: Ringrazio di cuore il Professor Umberto Bartocci che mi ha dato l'opportunità di ricordare Arturo Reghini e la sua opera matematica inedita, lo ringrazio anche per la sua liberalità e la sua ampiezza di vedute. Ringrazio il mio amico Christian Scimiterna che materialmente si è recato alla Biblioteca Nazionale di Roma a cercare l'introduzione che del Guercio fece all'opera in 7 libri di Reghini sui numeri pitagorici, il riassunto dei primi due libri dell'opera e gli Indici Generali della medesima. Lo ringrazio anche per l'aiuto che più in generale mi ha dato. Ringrazio il signor Roberto Sestito per l'aiuto prestato e per avermi generosamente permesso di attingere così abbondantemente al suo libro "Il figlio del Sole - Vita ed opere di Arturo Reghini filosofo e matematico". Ringrazio infine il dott. Piero Fenili per avermi concesso di riportare diversi passi di un suo articolo.

Desidero infine precisare che non sono né sono mai stato massone.
 

Alcuni indirizzi del pensiero scientifico moderno portano l'attenzione dello studioso su discipline, ormai dimenticate, e che fiorirono nell'antichità. Vediamo così che accanto alla. modernissima astrofisica ed alla astronomia classica, fa capolino, anche nel mondo ufficiale, la "moderna astrologia"¹. Le recenti teorie chimiche, specialmente dopo la constatazione che il radio, corpo ritenuto semplice, si trasformava in elio, pure ritenuto semplice, hanno richiamato alla mente i "sogni" dei medioevali alchimisti, e la famosa "pietra filosofale", almeno considerata nel suo aspetto di "magistero chimico", è stata nuovamente esaminata e riconosciuta sana di mente². Infine, le recenti teorie atomiche: attraverso la costante di Rydberg, per le frequenze delle righe degli spettri; la teoria quantica dell'emissione dell'energia; i successivi raggi delle orbite atomiche e la distribuzione, nei cristalli, di particelle di sostanza formanti i nodi di reticoli spaziali³; pongono in evidenza le relazioni fra i numeri naturali e il loro studio quali punti aventi forma geometrica. Vediamo cioè riaffiorare nel quadro delle moderne scoperte scientifiche le vetuste dottrine pitagoriche che ancora oggi, nel rapido ma pur sempre difficile cammino della ricerca, ci danno il loro saluto augurale. Ritornare quindi a prendere in esame il pensiero filosofico della "Scuola Italica" può esser non del tutto inopportuno. Del resto, indipendentemente da tali considerazioni, fra gli studiosi, non si è mai rotto il filo che si riallaccia al vecchio sodalizio pitagorico, ed anche nel campo storico-scientifico, possiamo notare che il gusto della ricerca sulle dottrine pitagoriche si è mantenuto. Fra i contemporanei possiamo citare il Loria con "Le scienze esatte nell'antica Grecia" - Il Mieli con "Le scuole jonica, pytagorica ed eleata" - Il Dickson con "History of the numbers" - L'Heat con "A History of Greek mathematics" - Il Taylor con "The theoretic Arithmetic of the Pythagoreans" - Il Rey con "La Jeunesse de la science grecque" - L'Heiberg con "Matematiche, scienze naturali e medicina nell'antichità classica". E con essi, anche Arturo Reghini, con i due lavori: "Per la restituzione della geometria Pitagorica" e "Dei numeri pitagorici". Il primo lavoro, già pubblicato, e il secondo in attesa della pubblicazione integrale.

Accanto agli autori più sopra elencati, e che si sono occupati delle dottrine pitagoriche da un punto di vista prevalentemente scientifico, non mancano certo quelli che ne hanno scritto con indirizzo esoterico, filosofico e letterario. Citiamo brevemente: Fabre d'Olivet: "Les vers dorés de Pythagore espliqués" - Chaignet: "Pythagore et la philosophie pythagoricienne" - Delatte: "Études sur la litterature pythagoricienne" - Carcopino: "La Basilique pythagoricienne de la Porte Majeure " - Ghyka: "Le nombre d'or" - Rostagni: "II verbo di Pitagora" - Cognetti De Martiis: "L'Istituto Pitagorico" - Mario Meunier: "Les vers d'or" - Pesenti: "I versi aurei, i simboli e le lettere", ecc.

Fra tutti questi autori, sia del campo scientifico che del campo esoterico-letterario, Arturo Reghini, per i suoi due lavori più sopra citati, acquista un'importanza tutta sua particolare. Egli infatti, profondo conoscitore delle lingue e del mondo classico, anche nel suo aspetto esoterico, e distinto matematico, ha potuto, nelle sue opere, fondere in un armonico equilibrio le varie tendenze portando un notevole contributo sia per la parte storico-matematica, sia per la parte esoterico-letteraria. Arturo Reghini, con il suo lavoro sulla Geometria Pitagorica, anche facendo qualche riserva nell'accettare tutto quanto ci presenta come perfettamente a posto nel quadro storico della geometria fatta dagli antichi pitagorici, è certo che mostra, con mirabile rigore scientifico, come tutta la geometria contenuta nei libri di Euclide, poteva essere sviluppata senza bisogno di ricorrere alla teoria delle parallele, delle proporzioni e della similitudine. Ed è inutile notare quale fondamentale importanza un tale resultato abbia per la sistemazione e l'attribuzione delle scoperte geometriche sia nel tempo che alle varie scuole. Viene per esempio così a cadere senz'altro la conclusione a cui giunge Abel Rey⁴, conclusione condivisa da tutti gli storici della matematica, secondo la quale i Pitagorici potevano tutt'al più avere acquisito qualcuno dei resultati dei soli primi quattro libri di Euclide, e più specialmente dei primi due, ma ciò in modo disordinato, solo con qualche dimostrazione fondamentale isolata, e tutt'al più accompagnata da qualche altra nozione semi-intuitiva.

Ma di maggior impegno, per mole e per contributo storico-matematico, si presenta l'ultimo lavoro di Arturo Reghini. Il titolo: "Dei numeri pitagorici" ci indica che dopo la Geometria è venuta la volta della Aritmetica Pitagorica. E diciamo subito che anche per i cultori di matematica, specialmente nella teoria dei numeri, il lavoro del Reghini presenterà notevolissimo interesse sia per alcune parti originali di analisi indeterminata sia per le numerose proprietà e relazioni sui numeri figurati, che sono state poste in luce.

Tutto il lavoro si compone di un Prologo e di sette libri, con i seguenti titoli:

Libro 1°: "Dell'equazione indeterminata di secondo grado con due incognite". Libro 2°: "Delle soluzioni primitive dell'equazione di tipo Pell e del loro numero". Libro 3°: "Dei numeri triangolari, dei quadrati e dei numeri piramidali a base triangolare e quadrata".

Libro 4°: "Dei numeri poligonali".

Libro 5°: "Dei numeri piramidali".

Libro 6°: "Alcune proprietà dei numeri poligonali e piramidali".

Libro 7°: "Dei -numeri poliedrici".

Affinché il lettore possa rendersi conto della mole del lavoro e degli argomenti trattati, riportiamo a parte l'indice dettagliato dei paragrafi. Si tratta, senza contare gli indici, il formulario, ecc. di ben 1650 pagine protocollo, dattilografate.

L'estensione del lavoro, la cui pubblicazione, specialmente di questi tempi, non è certo cosa delle più agevoli, indusse lo stesso Reghini a farne un sunto, in modo da comunicare più economicamente agli studiosi i resultati delle proprie ricerche. E' appunto questo "Sommario" fatto dall'Autore, che oggi, a cura degli amici, viene presentato al lettore.

Il Sommario in parola è il sunto del primo e del secondo libro, e verte quindi esclusivamente su questioni di analisi indeterminata.

Nello studio dei numeri pitagorici, sia intesi nel senso moderno di soluzioni intere dell'equazione pitagorica: x²+y² = z², sia considerati nel senso più generale di numeri naturali raffigurati geometricamente, è sovente necessario trovare le soluzioni intere e positive di equazioni indeterminate con due incognite. E' per ciò che il Reghini ha ritenuto opportuno premettere allo studio dei numeri pitagorici lo studio di tali equazioni. Limitandosi, per altro, a quelle di primo e secondo grado, ed a casi particolari di terzo grado.

Ed è proprio lo studio delle equazioni indeterminate di secondo grado con due incognite, che rappresenta uno dei punti originali del lavoro del Reghini. Difatti, mentre alcuni matematici ritengono, come per esempio il Cipolla, che l'analisi indeterminata di grado superiore al primo, richiede, nella sua trattazione generale, lo sviluppo di teorie elevate, gli altri matematici, anche senza dirlo, hanno però sempre, per la risoluzione delle varie " trasformate", prese appunto in considerazione per la risoluzione dell'equazione generale, impiegato dei metodi non elementari. Dimodoché, cosi stando le cose, l'analisi indeterminata di secondo grado, nella sua generalità, richiedeva normalmente lo sviluppo di teorie elevate. Orbene, il Reghini nel suo primo libro, e come è tratteggiato per sommi capi nel presente Sommario, mostra come si possa elementarmente, e solo ricorrendo alla risoluzione di un'equazione di secondo grado ad un incognita, risolvere un'equazione generale di secondo grado a due incognite. Stabilendo così l'analogia con la risoluzione di un'equazione di primo grado a due incognite (Equazione di Diofanto), che per risolverla, richiede solo la conoscenza della formula risolutiva dell'equazione di primo grado con una incognita.

Il presente "Sommario" è più particolarmente indicato per i matematici specializzati in materia, e per i quali, ove l'occasione si presentasse, ben volentieri favoriremo la consultazione del testo integrale dell'Autore per quei particolari che potessero loro interessare. Ed è per tale ragione, ed allo scopo di rendere più agevole la consultazione, che nel Sommario si sono lasciati i riferimenti alle pagine del testo⁵.

Per i lettori non familiarizzati con gli argomenti di analisi indeterminata, riteniamo che la lettura del "Sommario" difficilmente li può mettere in grado di rendersi compiutamente conto del come l'Autore possa concludere di aver trovato un metodo elementare per la risoluzione generale dell'equazioni indeterminate di secondo grado con due incognite. Per essi sarebbe necessario che leggessero direttamente il testo integrale, dove l'Autore, con paziente chiarezza, espone gradualmente il metodo da lui seguito in tutti i suoi particolari.

Tuttavia, tanto per cercare di dare un'idea approssimativa, anche ai non matematici, della via seguita dal Reghini e del suo contributo allo studio dell'analisi indeterminata, .diamo qualche rapidissima notizia. Data l'equazione a coefficienti interi non nulli:

(detta equazione di Diofanto) la ricerca dei valori, generalmente in numeri interi, che la soddisfano, rientra in quella parte della matematica che prende il nome di analisi indeterminata di primo grado.

L'equazione di Diofanto, come abbiamo già accennato, può essere. risolta elementarmente, colla sola conoscenza delle equazioni di primo grado con un'incognita.

Mentre la risoluzione in interi di un'equazione di secondo grado con due incognite, a coefficienti interi, della forma:

riguarda l'analisi indeterminata di secondo grado.

A seconda delle particolari condizioni relative ai vari coefficienti dell'equazione su scritta, l'equazione stessa può presentare due casi:

1° - L'equazione. è riducibile al primo grado, ed allora rientrando nell'analisi indeterminata di primo grado, può risolversi elementarmente.

2° - L'equazione non è riducibile al primo grado, (caso irriducibile) ed allora vediamo quali sono i procedimenti generalmente usati per risolverla.

Naturalmente sono da escludersi quei casi di particolari equazioni che pur essendo irriducibili, possono tuttavia risolversi con metodi elementari, così come riferisce il Cipolla nel suo studio sull'analisi indeterminata. I metodi applicati in tali casi, appunto perché particolari, non risolvono il problema elementarmente nel caso generale.

Normalmente la via più seguita per risolvere il caso generale è quella esposta nei vari trattati di teoria dei numeri, quali quello del Gazzaniga e del Cahen, per esempio. Con questo metodo l'equazione generale proposta viene opportunamente condotta alla risoluzione dell'equazione "trasformata":

oppure anche, come in particolare espone il Cahen, la su scritta trasformata si conduce alla forma:

dove t ed u sono le incognite, k un intero positivo e r può essere o zero, o uno.

In ogni modo giunti all'una o all'altra trasformata, la risoluzione della trasformata prescelta viene proposta mediante l'impiego delle forme binarie quadratiche e quindi con metodo non elementare.

Se r = 0 la trasformata indicata dal Cahen diviene:

e cioè acquista la forma che viene studiata sotto il nome di equazione di Pell. L'equazione di Pell che, secondo alcuni storici, come riporta il Gazzaniga, dovrebbe essere chiamata equazione di Fermat, è stata oggetto di particolare studio. Ma anche presa a sé, la risoluzione completa è stata generalmente fatta dipendere dalla teoria delle forme binarie quadratiche, come si può vedere nel trattato del Gazzaniga. E dello stesso avviso è il Cahen.

Ora è chiaro che se, per esempio, si riesce a risolvere completamente l'equazione di Pell con metodi elementari, senza far ricorso alle congruenze e alle forme binarie quadratiche, e se da tali soluzioni si riesce a passare, con metodo elementare, alle soluzioni della prima trasformata ed infine passare da queste soluzioni, sempre con metodi elementari, a quelle della equazione generale proposta, si può dire che tutti i.problemi di analisi di secondo grado in due incognite, sono risolubili elementarmente.

E questo è appunto quello che ha fatto Arturo Reghini, basandosi sul contributo portato in questo campo dal grande matematico piemontese Lagrange.

Il Lagrange, come riporta nel suo lavoro il Reghini, ha fatto vedere come l'equazione generale indeterminata di secondo grado con due incognite si può ricondurre alla trasformata di Lagrange:

dove u e t sono le incognite ed A e B sono interi qualunque.

Questa trasformata di Lagrange è stata risolta dallo stesso Lagrange e da molti altri, con vari metodi, ma tutti non elementari.

Sempre il Lagrange ha mostrato come supposte note le soluzioni della sua trasformata, si può, con procedimenti elementari, passare alle soluzioni dell'equazione generale.

Ed infine, ancora il Lagrange, è stato il primo che ha dato la soluzione generale dell'equazione detta di Pell:

dandone la minima soluzione intera sviluppando in frazione continua la radice quadrata del coefficiente D.

Posti in luce e riavvicinati questi resultati, dovuti al Lagrange, il Reghini ha preso in considerazione l'equazione irriducibile di secondo grado con due incognite ed ha fatto vedere come i vari casi di equazioni particolari cui danno luogo i valori e le relazioni fra i coefficienti si possono sostanzialmente riunire in due gruppi. Un gruppo, per le equazioni del quale il Reghini mostra come se ne possa ottenere la risoluzione con metodo elementare; ed un altro gruppo per il quale la risoluzione si può ricondurre alla trasformata di Lagrange.

Ma poiché l'equazione di Pell si può risolvere, come abbiamo già detto, mediante lo sviluppo in frazione continua di , ne segue che, riuscendo, come ha fatto il Reghini, a passare dalle soluzioni dell'equazione di tipo Pell a quelle della trasformata di Lagrange, il problema dell'analisi indeterminata di secondo grado con due incognite viene ad essere in ogni caso risoluto elementarmente. E così scrive con giusta soddisfazione Arturo Reghini, la trasformata di Lagrange riacquista la sua importanza e l'intera questione è risolta ad opera d'italiani.

Questo è il punto che può interessare una più vasta cerchia di lettori. Ma non mancano altre parti nelle quali si può apprezzare l'originalità, l'eleganza ed il contributo portato dal Reghini sia dal punto di vista matematico che da quello esoterico. Ma sono questioni più riposte. Solo vogliamo far considerare che questa del Reghini è forse l'unica opera moderna che abbia trattato, sempre usando metodi elementari, la questione dei numeri pitagorici in senso lato, sia portando resultati nuovi, sia raccogliendo quanto in proposito è stato fatto. E' il frutto di lunghi anni di lavoro condotto da un uomo di salda mente, attraverso non poche difficoltà, e sempre sostenuto da un puro ed alto ideale.

Infatti Egli scrive:

"Poniamo qui termine alla nostra opera che non ha affatto la pretesa di esaurire l'argomento dei numeri pitagorici. Basti pensare che tra i numeri triangolari vi sono anche i numeri perfetti cui abbiamo appena accennato. Ed anche restando nel campo dei numeri poligonali, piramidali e poliedrici dobbiamo constatare che se abbiamo potuto trattare le questioni che conducono ad un'equazione indeterminata di secondo grado con due incognite grazie al nostro metodo elementare ma semplice e pratico di risolvere l'equazione di tipo Pell x²-Dy² = B e quindi l'equazione generale di secondo grado, abbiamo dovuto in generale rinunziare a trattare le questioni che conducono ad equazioni di grado superiore al secondo. Per una completa trattazione dei numeri pitagorici occorrerebbe saper risolvere l'equazione generale indeterminata di terzo grado con due incognite, e può anche darsi che si tratti di cosa semplice; ma non sempre è semplice trovare le cose semplici. Basta ricordare che la scienza moderna non è riuscita a trovare il criterio per riconoscere se un numero è primo di cui quasi sicuramente era in possesso Fermat, sicché su questo argomento essenziale siamo ancora si può dire allo stesso punto cui era pervenuto Eratostene. .Sono occorsi ventiquattro secoli ed il genio di Gauss per portare il problema della iscrizione nella circonferenza di un poligono regolare un poco oltre il punto cui lo aveva portato Pitagora; sono occorsi venti secoli per sviscerare la questione del rapporto della circonferenza al suo diametro; non stupisce quindi se questioni elementari relative alla teoria dei numeri interi sono ancora avvolte nel mistero; ed occorre rimanere paghi anche di resultati modesti come quelli cui talora siamo pervenuti. Si potrà forse contestare l'utilità di questi resultati e di questi studii. Il criterio utilitario di valutazione in base ai servigli ed al profitto che da una scienza può trarre, in pace ed in guerra, l'umanità non è il nostro. Noi abbiamo deliberatamente fatto astrazione da ogni finalità pratica ed utilitaria, ossia moderna, ed abbiamo inteso soltanto riprendere, con animo antico e religioso l'indagine e la contemplazione del mistero dei numeri interi, delle leggi numeriche insite nell'universo interiore, ricollegandoci spiritualmente alla tradizione pitagorica della "Scuola Italica"".

Ed è con queste parole che pone termine al suo ultimo lavoro Arturo Reghini: italiano, matematico e pitagorico.
 

(1) Cfr. G. ABETTI, Esplorazioni celesti, Hoepli editore.

(2) Cfr. F. RIZZATTI, Dalla pietra filosofale al radio, Bocca editore.

(3) GRAETZ-ROSSI, Le nuove teorie atomiche e la costituzione della materia, Hoepli editore.

(4) ABEL REY, La jeunesse de la science grecque.

(5) La richiesta può essere indirizzata alla Cas. Post. n. 71 - Roma (Abb. C).
 

Firenze, 2 novembre 1946.

[Episteme ritiene di fare cosa utile presentando al lettore, insieme alla Nota Introduttiva del Prof. Alfonso Del Guercio, anche gli indici dell'opera inedita di Reghini sulla matematica pitagorica, assieme al recentissimo link dell'Associazione Culturale Ignis: http://aignis.sites.uol.com.br - si veda in particolare la sezione "Libri". N.d.R..]

Libro 1

1. Risoluzione dell'equazione indeterminata di primo grado con due incognite

2. L'equazione indeterminata di secondo grado con due incognite riducibile al primo

3. Distinzione dei varii casi che presenta l'equazione generale indeterminata di secondo grado con due incognite irriducibile

4. L'equazione bxy+dx+ey+f = 0

5. L'equazione ax²+dx+ey+f = 0

6. L'equazione irriducibile ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0 con i tre coefficienti a, b, c diversi da zero ed il discriminante A = b²-4ac = 0.

7. Il metodo di Lagrange per trasformare l'equazione generale indeterminata irriducibile di secondo grado con due incognite in una equazione di tipo Pell u² - At² = B o trasformata di Lagrange

8. L'equazione x² - y² =N e l'equazione x²+y² = N

9.L'equazione irriducibile ax²+bxy+dx+ey+f = 0 coi coefficienti a e b diversi da zero e c nullo

10. L'equazione irriducibile ax²+bxy+cy²+dx+ey+f = 0 con i tre coefficienti a, b, c diversi da zero ed il discriminante A = b²-4ac uguale ad un quadrato non nullo

11. L'equazione irriducibile ax²+cy²+dx+ey+f = 0 priva del termine in xy e col discriminante A = b²-4ac uguale ad un quadrato diverso da zero

12. L'equazione generale di secondo grado con due incognite irriducibile nel caso in cui il discriminante A = b²-4ac è diverso da un quadrato; ed in particolare l'equazione Mx²+Ny² = P

13. L'equazione x²+Dy² = B

14. Le varie forme dei numeri primi rispetto alla equazione x²+Dy² = B

15. L'equazione x²+Dy² = B e la x²+Dy² = B²

16. L'equazione pitagorica

17. Risoluzione dell'equazione x²+Dy² = B

18. Risoluzione dell'equazione x²+3y² = B

19. L'equazione x²+Dy² = B quando il secondo membro contiene i fattori primi di forma E. Applicazioni alla soluzione di equazioni generali indeterminate di secondo grado con due incognite

20. L'equazione di Pell

21. Formule progressive e formule ricorrenti per la doppia serie delle soluzioni dell'equazione di Pell x²-Dy² =1

22. L'equazione di tipo Pell x²-Dy² = B

23. Una proprietà delle soluzioni primitive

24. Il limite superiore per la prima metà delle soluzioni primitive dell'equazione di tipo Pell o trasformata di Lagrange

25. Soluzione primitiva autoassociata

26. L'equazione x²-Dy² = -1

27. L'equazione x²-Dy² = 4

28. Soluzioni intere, semi intere e fratte dell'equazione di Pell

29. Formule generali per l'equazione x²-Dy² = B

30. Determinazione delle soluzioni primitive in alcuni casi particolari dell'equazione

x²-Dy² = B

31. Formule di addizione per le soluzioni dell'equazione di Pell x²-Dy² = 1 e dell'equazione di tipo Pell x²-Dy² = B

32. Altre formule generali per ogni doppia serie di soluzioni della equazione di tipo Pell avente per coppia iniziale una soluzione primitiva

33. Passaggio dalle soluzioni dell'equazione x²-Dy² = B alle soluzioni dell'equazione

x²-Dy² = -B se ammette soluzione

34. Formule relative alle soluzioni della equazione x²-Dy² = B

35. Serie parziali di soluzioni tratte da una serie completa di soluzioni dell'equazione di tipo Pell

36. Unica serie per le soluzioni dell'equazione x²-Dy² = B e formule generali

37. Esempi di risoluzione di equazioni generali indeterminate di secondo grado con due incognite

38. L'equazione di secondo grado pura Mx²-Ny² = P

39. L'equazione indeterminata di terzo grado con due incognite

Libro 2 - Delle soluzioni primitive dell'equazione di tipo Pell e del loro numero

1. Soluzioni primitive e loro associate

2. La soluzione primitiva autoassociata ed il limite superiore dei valori delle incognite nella prima metà delle soluzioni primitive

3. Soluzioni dell'equazione x²-Dy² = B₁*B₂ quando le due equazioni

x²-Dy² = B₁ e x²-Dy² = B₂ ammettono soluzione

4. Soluzioni primitive dell'equazione x²-Dy² = B₁*B₂ incasi particolari

5. L'equazione x²-Dy² = +/-B e la x²-Dy² = B₂

6. L'equazione x²-Dy² = B₂ e la x²-Dy² = +/-B quando il secondo membro è un numero primo. Le forme dei numeri primi rispetto all'equazione x²-Dy² = B

7. Formule e proprietà relative alle equazioni x²-Dy² = +1; x²-Dy² = -1;

x²-Dy² = +2; x²-Dy²= -2

8. I numeri primi di forma G e di forma L

9. I numeri primi di forma T e di forma F

10. L'equazione x²-Dy² = B quando il secondo membro è un prodotto di soli fattori primi di forma K

11. L'equazione x²-Dy² = B quando il secondo membro contiene fattori primi di forma G, L, T, F e K

12. L'equazione x²-Dy² = B quando il secondo membro è un prodotto di soli fattori primi di forma H

13. L'equazione x²-Dy²=B quando il secondo membro contiene fattori primi di ogni forma tranne le E, R, S

14. Risoluzione dell'equazione x²-Dy² = B quando il secondo membro contiene soltanto fattori primi di forma R

15. Risoluzione dell'equazione x²-Dy² = B quando il secondo membro contiene fattori primi di forma E

16. L'equazione x²-Dy² = B quando il secondo membro contiene fattori primi di forma S

17. Condizione necessaria affinché un numero primo sia di forma T od F rispetto all'equazione x²-Dy² = B

18. Le forme dei numeri primi T quando il coefficiente D dell'equazione

x²-Dy² = B è primo dispari

19. I numeri primi di forma T nel caso dell'equazione x²-Dy² = B quando il coefficiente D è prodotto di primi distinti

20. Procedimento pratico per la risoluzione dell'equazione generale di secondo grado con due incognite

21. Un confronto tra l'equazione x²+Dy² = B e la x²-Dy² = B

Libro 3 - Dei numeri triangolari, dei quadrati e dei numeri piramidali a base triangolare e quadrata

1. Rappresentazione geometrica o figurata dei numeri

2. Numeri triangolari

3. Numeri tetraedici

4. I numeri quadrati, eteromechi e promechi

5. Numeri eteromechi e che sono anche triangolari

6. Le tre specie di numeri pari e le tre specie di numeri dispari

7. Somme dei primi n numeri interi, dei primi n numeri pari e dei primi n numeri dispari

8. Triangolari pari e triangolari dispari. Triangolari che sono prodotto di due dispari consecutivi

9. Triangolari multipli di triangolari. Triangolari prodotti di triangolari

10. Somme di più triangolari consecutivi

11. I numeri dispari, i quadrati e i piramidali a base quadrata

12. L'equazione pitagorica

13. Formule dei piramidali a base triangolare

14. Piramidali a base quadrata ossia somma dei quadrati dei primi n numeri interi

15. I numeri cubici

16. Equipartizione del piano ed equipartizione dello spazio

17. Baricentro dei numeri poligonali, piramidali e poliedrici

18. La tetractis pitagorica e la struttura molecolare ed atomica di alcuni corpi

19. Numeri trangolari che sono anche quadrati

20. I numeri laterali e diametrali di Teone di Smirne

21. Quadrati che sono somme di due quadrati consecutivi

22. Triangoli rettangoli in numeri interi e triangoli Eroniani

23. Risoluzione dell'equazione pitagorica quando una delle incognite è funzione lineare delle altre due

24. L'equazione pitagorica per i triangolari

25. Formule ricorrenti per i triangolari, i quadrati, i tetraedici ed i piramidali a base quadrata. Formule e proprietà varie

26. Numeri tetraedici che sono anche triangolari

27. Numeri piramidali a base quadrata che sono anche triangolari

28. Numeri piramidali a base quadrata che sono anche quadrati

29. Numeri tetraedici che sono anche quadrati

Libro 4 - Dei numeri poligonali

1. Formule generali e formule ricorrenti per i numeri poligonali

2. Numeri poligonali appartenenti alla diagonale principale del quadro dei poligonali ed alle diagonali parallele ad essa

3. Diagonali perpendicolari alla diagonale principale del quadro dei poligonali

4. Elementi doppi delle diagonali ascendenti del quadro dei numeri poligonali

5. Teorema di Diofanto

6. L'ultima cifra dei numeri poligonali

7. L'equazione pitagorica generalizzata. Determinare due poligonali consecutivi dello stesso genere la cui differenza sia uguale ad un poligonale dello stesso genere

8. L'equazione pitagorica generalizzata. Determinare due poligonali consecutivi dello stesso genere la cui somma sia un poligonale di questo genere

9. Altri casi dell'equazione pitagorica generalizzata

10. Determinare un poligonale di genere r che sia multiplo secondo r di un altro poligonale dello stesso genere

11. Triangolari circoscritti ad un poligonale

12. Poligonali di genere r multipli secondo r di poligonali di altro genere

13. Isomeria dei numeri poligonali

14. Poligonali di genere s che sono anche triangolari

15. Poligonali che sono anche quadrati

16. Numeri triangolari, pentagonali, esagonali ed eptagonali che sono anche quadrati

17. Numeri ottagonali, ennagonali ed endecagonali che sono anche quadrati

18. Numeri dodecagonali, tridecagonali e tetradecagonali e pentedecagonali che sono anche quadrati

19. Numeri esadecagonali, eptadecagonali ed altri poligonali che sono anche quadrati

20. Poligonali di genere assegnato s che sono anche pentagonali

21. Numeri poligonali che sono anche esagonali

22. Numeri tridecagonali che sono anche eptagonali

23. Le potenze come numeri poligonali

24. Problema. Determinare un poligonale di genere r assegnato in modo che il suo gnomone sia uguale ad un numero B dato ed in particolare sia uguale ad un poligonale di genere s assegnato

25. Determinare due poligonali consecutivi di genere r la cui somma sia uguale ad un poligonale di genere s

26. Problema. Determinare due poligonali dello stesso genere e di ordini n-1 ed n noti in modo che la loro somma sia uguale ad un poligonale dello stesso ordine del maggiore

27. Determinare in quanti modi un numero è poligonale; e determinare un numero poligonale in un numero assegnato di modi

28. Confronto tra due colonne di poligonali

29. Elementi comuni alla n-esima e alla 2n-esima colonna di numeri poligonali

30. Elementi comuni a più colonne del quadro dei poligonali i cui ordini sono in progressione geometrica

31. Teorema. I numeri poligonali di ordine ns dove n ed s sono interi qualunque sono anche numeri poligonali di ordine n

32. Confronto delle righe con le colonne del quadro dei numeri poligonali

33. Un poligonale di ordine r(r-1)h+r appartiene sempre anche alla r-esima colonna del quadro dei poligonali

Libro 5 - Dei numeri piramidali

1. Definizione e formula dei numeri piramidali

2. Formule di addizione, di sottrazione, di raddoppiamento per la serie dei numeri piramidali di uno stesso genere r. Formule ricorrenti per una serie di numeri piramidali di uno stesso genere r e per una serie di numeri piramidali di uno stesso ordine n

3. Diagonale principale del quadro dei numeri piramidali

4. Rette perpendicolari alla diagonale principale del quadro dei numeri piramidali

5. Casella di valore massimo di una diagonale ascendente

6. Ultima cifra dei numeri piramidali

7. Problema. Determinare in quanti modi un numero assegnato è piramidale

8. L'equazione pitagorica per i numeri piramidali

9. Confronto tra le righe del quadro dei numeri piramidali

10. Confronto tra le righe del quadro dei piramidali e quelle del quadro dei poligonali, ossia tra i piramidali di un genere r assegnato e i poligonali di un genere s assegnato

11. Confronto tra i numeri piramidali di una colonna e i numeri piramidali di una riga

12. Confronto tra le colonne del quadro dei numeri piramidali

13. Confronto tra le righe del primo quadro e le colonne del secondo, ossia tra i poligonali di genere r assegnato ed i piramidali di ordine n assegnato

14. Confronto tra le righe del secondo quadro e le colonne del primo ossia tra i piramidali di genere assegnato s ed i poligonali di ordine assegnato n

15. Confronto tra le colonne del quadro dei numeri piramidali e quelle del quadro dei poligonali

16. Proprietà e questioni varie

Libro 6 - Alcune proprietà dei numeri poligonali e piramidali

1. Relazioni tra quadrati e poligonali

2. Il quadro dei numeri piramidali ed i numeri cubici

3. Somma di quadrati e somma di cubi

4. Prodotto dei numeri poligonali per i loro gnomoni

5. Problema. Determinare due numeri poligonali di uno stesso genere n assegnato, i cui ordini siano proporzionale a due numeri r ed s in modo che il rapporto tra i due poligonali abbia valore intero

6. Determinare due triangolari di ordine rx e 2x il cui rapporto sia intero

7. Problema. Determinare due poligonali di genere uguale o maggiore di cinque, i cui ordini siano proporzioanli a due numeri r ed s in modo che il loro rapporto sia intero

8. Determinare per quali valori della x il rapporto tra il numero piramidale F(n,rx) di genere n e di ordine rx e il numero piramidale F(n,sx) dello stesso genere n e di ordine sx con r maggiore di s, assume valore intero

9. Problema. Determinare due tetraedrici di cui il primo abbia l'ordine multiplo secondo r dell'ordine del secondo in modo che il primo sia multiplo del secondo

10. Teorema. Il numero delle soluzioni intere dell'equazione y = F(3,rx)/F(3,sx) va diminuendo al crescere di r e di s se la differenza fra questi parametri è costante e da un certo valore della r in poi non vi è più alcun valore della x per il quale il rapporto risulti intero

11. Problema. Determinare due piramidali a base quadrata ed i cui ordini siano proporzionali a due numeri r ed s in modo che il loro rapporto sia intero

12. Problema. Determinare due numeri piramidali a base pentagonale i cui ordini siano proporzionali a due numeri r ed s con r maggiore di s in modo che il loro rapporto sia intero

13. Rapporto di due piramidali di genere n ³ 6 i cui ordini sono proporzionati a due numeri r ed s di cui r è maggiore di s

14. Problema. Determinare due piramidali a base eptagonale i cui ordini siano proporzionali a due numeri r ed s in modo che il loro rapporto sia intero

15. Determinare quando accade che il rapporto di due piramidali di genere n e di ordini r ed s è uguale al rapporto r³/s³ dei cubi dei loro ordini

16. Determinare due poligonali di genere n assegnato e il cui rapporto sia uguale ad un numero K assegnato

Libro 7 - Dei numeri poliedrici

1. L'illuminazione di Cartesio

2. I cinque numeri poliedrici regolari pitagorici

3. Formule di addizione, di sottrazione e di raddoppiamento per i numeri poliedrici. Formule ricorrenti per i numeri poliedrici

4. Un numero poliedrico di ordine n è sempre combinazione lineare additiva intera dei tre tetraedrici consecutivi d'ordine n-2, n-1 ed n

5. Teorema. Un numero poliedrico di ordine n si può sempre esprimere come combinazione lineare degli altri quattro numeri poliedrici dello stesso ordine

6. Un numero poliedrico è sempre determinato quando si conoscono altri tre numeri poliedrici dello stesso ordine

7. L'ordine n ed il suo quadrato espressi come combinazione lineare dei numeri poliedrici

8. Numeri poliedrici multipli di altri numeri poliedrici aventi lo stesso ordine

9. Poliedrici che sono anche quadrati

10. Posizione dei numeri poliedrici rispetto ai numeri piramidali di vari generi

11. Determinare un numero poliedrico che sia anche poligonale

12. Determinare un poliedrico che sia multiplo secondo un numero K di un poligonale dello stesso ordine x

13. Problema. Determinare due ottaedrici i cui ordini siano proporzionali a due numeri interi r ed s, con r maggiore di s, ed il cui rapporto sia intero

14. Determinare il valore della x in maniera che il rapporto tra il numero icosaedrico di ordine rx e quello di ordine sx, dove r è maggiore di s, sia uguale ad un numero intero y

15. Problema. Determinare due dodecaedrici di ordini proporzionali a due numeri r ed s, con r maggiore di s, in modo che il primo dodecaedrico sia multiplo del secondo

Stefano Loretoni è nato a Spoleto (PG) il 12/02/1971. Dopo aver conseguito la maturità scientifica, si laurea in fisica a Perugia nel 2002. Attualmente si occupa di informatica. Dedica il tempo libero alla lettura; ama molto gli scritti di Seneca, Epitteto, Marco Aurelio, Musonio Rufo, Plotino, Proclo, Cicerone, Epicuro.

stefano.loretoni@virgilio.it