(Giorgio Faina)*

Questa citazione, dovuta ad un Fisico, non deve trarci in inganno, essa serve soltanto a suggerirci la possibilità di fare la ricerca matematica anche con l'uso di strumenti che consentano di dare risposte anche solo parziali (spesso sperimentali) o di formulare congetture in attesa, comunque, di dimostrazioni matematiche, cioè rigorose.

Insomma la possibilità di collegare in modo sinergico fatti sperimentali, congetture, teoremi, algoritmi e nuovi fatti sperimentali, e nuove congetture e così via innescando la spirale della creatività nel senso descritto da B. Buchberger in: Mathematica: A System for doing Mathematics by Computer?, RISC-Linz Series 50 (1993). Si veda anche l'illustrazione contenuta nell'appendice del presente lavoro.

Viviamo ormai in una epoca in cui i computers hanno invaso il sacro terreno della matematica classica.

La Computer Algebra si è dimostrata un utile strumento che sta cambiando il modo di insegnare, applicare e fare ricerca nel campo della matematica.

Il campo specifico della geometria combinatoria offre, forse, rispetto a molte altre aree della matematica, il più ampio bagaglio di tecniche computazionali applicate ai problemi di ricerca.

Inoltre, almeno in questo campo, il sapere elettronico non è necessariamente un nemico del rigore matematico. Anzi, almeno a nostro avviso, la combinazione di metodi rigorosi di dimostrazione tipici della matematica classica e di conoscenze acquisite tramite l'impiego di opportuni strumenti di calcolo elettronico è quasi sempre un passaggio necessario per raggiungere nuovi risultati.

Periodicamente si riaccendono polemiche tra i ''rigorosi'' matematici classici e quei matematici che talvolta propongono metodi ''sperimentali'' semi-rigorosi spesso basati sull'uso dei computer.

Le polemiche trovano ormai da decenni spazio su importanti riviste quali Notices of the A.M.S. e Bulletin of the A.M.S., e più di recente si è riaccesa una animata discussione anche in Italia con alcuni articoli apparsi su Lettera Pristem.

Non è certo in questa sede che possiamo e vogliamo affrontare la questione, anche perché la soluzione della stessa è ben lontana dall'essere in vista.

Il nostro scopo è soltanto quello di segnalare alcuni risultati che, dopo essere stati ottenuti o congetturati in via sperimentale (cioè grazie all'aiuto del computer, nel nostro caso) hanno successivamente trovato anche una dimostrazione teorica nel senso classico, oppure hanno consentito di dare risposte almeno parziali sempre in quest'ultimo senso, innescando, insomma una spirale virtuosa alla Buchberger.

In sostanza, cercheremo di fornire un modesto contributo alla riconciliazione delle due parti in lotta.

Quindi non faremo speculazioni su questioni generali, ma presenteremo alcuni risultati di Geometria Combinatoria (ottenuti anche grazie all'uso della Computer Algebra) che si prestano a mettere in relazione metodi sperimentali e metodi classici.

Osserviamo, infine, che molto spesso, nelle pubblicazioni che utilizzano sistemi di calcolo, la parte dimostrativa classica è assai trasparente in quanto le dimostrazioni sono quasi sempre riportate dettagliatamente. Al contrario, appare meno trasparente, per motivi di spazio, ciò che accade nella parte sperimentale. Sempre più spesso i dettagli di questa parte sono inseriti in appositi siti WEB.

Tra i sistemi di calcolo simbolico segnaliamo, in particolare, il sistema denominato MAGMA, messo a punto da John Cannon ed altri suoi collaboratori dell'Università di Sydney, ed i sistemi CAYLEY e GAP.

Agli interessati ai risultati ottenuti mediante l'utilizzo di tali sistemi di computer algebra o di altri sistemi di calcolo consigliamo di collegarsi al seguente sito WEB:

http://www.dipmat.unipg.it/combinatorics.html.

- Quattro colori sono sempre sufficienti a decorare ogni possibile carta geografica disegnata su un foglio di carta, con l'avvertenza che due paesi con un confine comune non devono avere lo stesso colore?

(Risposta: si, sotto opportune ipotesi, cfr. K. Appel and W. Haken, The four color proof suffices, Math. Intell. 8 (1986), 10-20.

- Esistono piani proiettivi di ordine 10?

(Risposta: no, cfr. C. Lam, L. Thiel and S. Swiercz, The non-existence of finite projective planes of order 10, Canad. J. Math. 41 (1989), 1117-1123.

La risposta a queste due semplici, ma importanti, domande è stata possibile grazie all'uso massiccio del computer. In entrambi i casi il computer è stato usato per provare una miriade di possibili sottocasi al costo di mesi o anni di tempo di calcolo. Il matematico rigoroso osserverà che tali risposte non sono controllabili dalla mente umana e che una dimostrazione basata sull'uso del computer può essere soggetta ad errori causati dal software e/o dall'hardware usati. Tuttavia, utilizzando il computer in modo mirato, in un contesto di creatività a spirale, la matematica sperimentale che esso ci aiuta a fare si è dimostrata di grande aiuto al fine di ottenere anche dimostrazioni classiche. Nella prossima sezione cercheremo di illustrare questo concetto con un esempio.

Una iperovale di un piano proiettivo di ordine pari n è un insieme di n + 2 punti a tre a tre non allineati.

Nel 1975, M. Hall Jr. [cfr. Ovals in the desarguesian plane of order 16, Ann. Mat. Pura Appl. 102 (1975), 159-176] ha dimostrato che nel piano desarguesiano PG(2, 16) esistono soltanto due classi proiettivamente distinte di iperovali:

- le iperovali regolari (cioè l'unione di coniche con il loro nucleo);

- una classe di iperovali irregolari.

Questa seconda classe era stata scoperta nel 1958 da Lunelli&Sce mediante una ricerca esaustiva, eseguita con l'aiuto di un computer, di archi completi in piani desarguesiani di ordine piccolo [cfr. K-archi completi nei piani proiettivi desarguesiani di rango 8 e 16, Centro Calcoli Numerici, Politecnico di Milano, 1958]. Pertanto, chiameremo tali oggetti matematici iperovali di Lunelli-Sce.

La dimostrazione di Hall si basa pesantemente sul calcolo elettronico, ma nel 1991 O'Keefe&Penttila hanno fornito una dimostrazione classica (cioè senza l'aiuto del computer) dello stesso risultato di Hall. [cfr. Hyperovals in PG(2, 16), European J. Comb. 12 (1991), 51-59].

Nel lavoro già citato, M. Hall ha anche fornito un insieme di generatori per un gruppo di collineazioni delle iperovali di Lunelli-Sce, ma non è riuscito a scoprire se tale gruppo è il loro gruppo delle collineazioni.

Nel 1978 G. Korchmaros, studiando una iperovale di Lunelli-Sce, ha dimostrato classicamente che quel gruppo individuato da Hall è il gruppo delle collineazioni della iperovale.

[cfr. Gruppi di collineazioni transitivi sui punti di una ovale [(q + 2)-arco] di S_{2, q}, q pari, Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 27 (1978), 89-105].

Molti ricercatori, sia con metodi classici che sperimentali, talvolta unendo i due metodi, hanno cercato di trovare una generalizzazione dei risultati sopra descritti a piani più grandi, ma tali ricerche non sono tutte apparse nella letteratura. Chi è interessato alla ricostruzione di molti di questi tentativi può consultare il bel lavoro di W. Cherowitzo: The Lunelli-Sce hyperoval in PG(2, 16), Journal of Geometry (to appear), e, dello stesso autore, Hyperovals in desarguesian planes: an update, Discrete Math. 155 (1996), 31-38.

Nel primo dei due lavori appena citati, Cherowitzo fornisce una costruzione sintetica, assolutamente priva di supporto elettronico, delle iperovali di Lunelli-Sce. Attraverso tale costruzione, egli riesce anche a determinare il loro gruppo delle proiettività e molte altre proprietà interessanti.

Nel 1996, Cherowitzo, Penttila, Pinneri e Royle hanno anche dimostrato che le iperovali di Lunelli-Sce non sono che i primi membri di una famiglia infinita di iperovali, la famiglia degli ovali di Subiaco. [cfr. Flocks and ovals, Geom. Dedicata 60 (1996), 17-37].

Per concludere questa sezione, ricordiamo altri lavori che utilizzano pacchetti di Computer Algebra molto efficienti (CAYLEY, MAGMA, NAUTY, GAP etc) per lo studio delle iperovali irregolari:

T. Pentilla & G.F. Royle, Classification of Hyperovals in PG(2, 32), Journal Geom. 50 (1994), 151-158

T. Pentilla & I. Pinneri, Irregular Hyperovals in PG(2,64), Journal Geom. 51 (1994), 89-100

T. Pentilla & G.F. Royle, On Hyperovals in small projective planes, Journal Geom. 54 (1995), 91-104

Appare evidente come i risultati sperimentali di Lunelli e Sce abbiano dato il via ad una serie di ricerche, tuttora assai numerose e molto importanti, che ha consentito di calibrare dimostrazioni classiche degli stessi risultati e che il tutto abbia consentito di allargare l'orizzonte delle indagini a strutture più complesse in un procedimento a spirale assai fruttuoso.

Riportiamo ora, in ordine cronologico, alcuni lavori ottenuti dal Gruppo di Ricerca di Geometria Combinatoria del Dipartimento di Matematica dell'Università degli Studi di Perugia in collaborazione anche con altri ricercatori. Tali lavori sono classificati in base al seguente schema:

[s] lavoro contenente risultati di tipo prevalentemente sperimentale.

[c/s] lavoro contenente solo risultati di tipo classico anche se almeno in parte ottenuti grazie all'aiuto di risultati sperimentali riportati in precedenti lavori.

[c&s] lavoro contenente sia dimostrazioni e risultati classici che dimostrazioni e risultati sperimentali.

Scorrendo la lista dei suddetti lavori, risulta evidente che i più recenti sono tutti catalogati come [c/s], mentre molti di quelli iniziali sono etichettati come [s].

Quindi i lavori catalogati come [s], e cioè i risultati sperimentali in essi ottenuti, stanno ora consentendo al gruppo di ricerca di procedere alla dimostrazione classica di molti risultati (anche se spesso solo parziali) senza l'aiuto del computer. Quasi sempre i risultati classici contenuti negli ultimi lavori sono molto più generali di quelli sperimentali. Questi ultimi lavori, comunque, a loro volta sono stati ispirati e si basano su risultati del tutto classici, frutto del lavoro pionieristico fatto da Bose, Segre, Tallini, Barlotti, e tanti altri matematici italiani e stranieri.

Per avere un quadro esauriente ed aggiornato dell'enorme sviluppo delle ricerche condotte nel campo delle geometrie di Galois si rimanda il lettore a:

J.W.P. Hirschfeld, Projective geometries over Finite Fields, Clarendon Press, Oxford 1998.

J.W.P Hirschfeld and L. Storme, The packing problem in statistics, coding theory and finite projective spaces. J. Stat. Planning and Inference (1997).

P. Lisonek, Computer-assisted studies in algebraic combinatorics. Ph.D. Thesis, Research Institute for Symbolic Computation, J. Kepler Univ. Linz, 1994. RISC-Linz Report Series No. 94-68.

Articoli pubblicati dal 1995 dal Gruppo di Ricerca di geometria Combinatoria dell'Università degli Studi di Perugia:

S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, A computer search for complete arcs in PG(2, q), q £ 128. Rapporto Tecnico n. 18/95, Università degli Studi di Perugia (1995). [s]

S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, A computer search for complete caps in PG(d, q). Rapporto Tecnico n. 19/95, Università degli Studi di Perugia (1995). [s]

F. Pambianco and L. Storme, Small complete caps in spaces of even characteristic. J. Comb. Theory, Ser. A, 75 (1996), 70-84. [c/s]

G. Faina and F. Pambianco, A class of complete k-caps in PG(3, q) for q an odd prime, J. Geom. 57 (1996), 93-105. [c/s]

G. Faina, S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, The sizes of the complete arcs in PG(2, q) for q £ 23, Ars Combinatoria 47 (1997), 3-11. [s]

G. Faina and F. Pambianco, Small complete k-caps of PG(r, q), r ³  3, Discrete Math. 174 (1997), 117-123. [c&s]

G. Faina, S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, The sizes of the complete k-caps in PG(n, q), for small q and 3 £ n £ 5, Ars Combinatoria 50 (1998), 235-243. [s]

G.Faina e F. Pambianco, On 10-arcs for deriving the minimum order for complete arcs in small projective planes, Discrete Math., to appear. [c&s]

G. Faina, Gy. Kiss, S. Marcugini and F. Pambianco, The cyclic model for PG(n, q) and a construction of arcs, Europ. J. Comb., submitted. [c/s]

H. Kaneta, S. Marcugini and F. Pambianco, On arcs and curves with many automorphisms, Discrete math., submitted. [c/s]

S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, Maximal (n, 3)-arcs in PG(2, 11), Discrete Math., to appear. [s]

M. Giulietti, Inviluppi di k-archi in piani proiettivi sopra campi finiti e Basi di Gröbner, Rend. Circolo Mat. Palermo 48 (1999), 191-200. [c/s]

M. Giulietti, Curve algebriche sopra campi finiti e MAGMA, Italian Journal Appl. Math., to appear. [c&s]

M. Giulietti and R. Casse, Gruppi di Singer e Calotte negli spazi proiettivi n-dimensionali, Pure Math. and Applic., to appear. [c/s]

M. Giulietti, Some small complete arcs in PG(2, q), q odd square, Discrete Math., to appear. [c&s]

M. Giulietti and E. Ughi, A small complete arc in PG(2, q), q = p², p º 3 (mod 4), Discrete Math., to appear. [c&s]

M. Giulietti, F. Pambianco, F. Torres and E. Ughi, On large complete arcs: odd case, submitted. [c/s]

M. Giulietti, On cyclic k-arcs of Singer type in PG(2, q), submitted. [c/s]

F. Pambianco, A class of complete k-caps of small cardinality in projective spaces over fields of characteristic three, Discrete Mathematics, to appear. [c/s]

F. Pambianco e E. Ughi, A class of k-caps having k - 2 points in common with an elliptic quadric and two points on an external line, submitted. [c/s]

E. Ughi, On the completeness of certain caps, Pure Math. Appl. 1998. [c/s]

J. Bierbrauer, S. Marcugini and F. Pambianco, The minimum order for PG(3, 7), in preparation. [c&s]

J. Bierbrauer, S. Marcugini and F. Pambianco, Small complete caps in PG(3, 8), in preparation. [c&s]

S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, Complete arcs in PG(2, 25): the spectrum of the sizes and the classification of the smallest complete arcs, in preparation. [s]

S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, The minimum order for complete arcs in PG(2, q), q = 27, 29, in preparation. [s]

S. Marcugini, A. Milani and F. Pambianco, The classification of (n, 3)-arcs in PG(2, q), q £ 25, in preparation. [s]

E. Ughi, Monotone triangles and weackly monotone triangles: Mistakes and computers, in preparation. [c/s]

Riportiamo, in conclusione, alcuni recenti lavori di rassegna sui principali risultati ottenuti nella materia di questa sezione. In questo settore di ricerca, particolarmente ricco di risultati sperimentali che sono, per loro natura, assai di frequente molto parziali e frazionati, periodici lavori di rassegna si rivelano uno strumento essenziale per individuare nuovi percorsi di indagine e/o possibili ricerche classiche che generalizzino i risultati sperimentali a disposizione.

G.Faina e F. Pambianco, On the spectrum of the values k for which a complete k-cap in PG(n, q) exists, Journal of Geometry 62 (1998), 84-98.

G.Faina e M. Giulietti, A survey of some recent constructions that lead to complete arcs in Galois projective planes, Sem. Math. Inf. Univ. Hagen 63 (1998), 149-164.

G. Faina, Packing problem, teoria dei codici e crittografia, Italian J. Appl. Math., to appear.

Ci piace affidare la conclusione di questo nostro breve trattato, alle parole di B. Buchberger riportate a commento del suo articolo: Mathematica: Doing mathematics by computer?, A. Miola (ed.), Advances in the design of symbolic computation systems. Wien: Springer. Texts and Monographs in Symbolic Computation. 2-20 (1997).

"We discussed the question of whether present symbolic computation systems can truly be considered as "doing mathematics by computer''. Although our answer was "no'' for the present systems we believe that, with research directed into appropriate directions, significant progress will be possible in the near future for making symbolic computation systems assisting humans more fundamentally when "doing mathematics''. Various research projects aiming at this goal are under way worldwide. Partly, they start from computer algebra systems like Mathematica and move into the direction of incorporating more proving power. Partly, they start from sophisticated provers and move into the direction of incorporating more algebraic computation power."

La spirale della creatività di B. Buchberger:

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Giorgio Faina è nato a Deruta (Perugia) nel 1946. Ha conseguito la laurea in Matematica presso l'Università degli Studi di Perugia nel 1970. Dal 1990 è professore ordinario di Geometria presso lo stesso Ateneo, dove insegna anche Algebra Superiore e Geometria Combinatoria. Attualmente è Presidente del Consiglio di Corso di Laurea in Matematica, ed è stato Direttore del Dipartimento di Matematica e Informatica della detta Università dal 1991 al 1995. Si occupa di Combinatorica e delle sue applicazioni alla Teoria dei Codici ed alla Crittografia. Ha promosso due congressi scientifici internazionali dedicati alla Combinatoria ed alle sue applicazioni: 1992 Perugia, 1996 Assisi (Perugia). É autore di oltre 60 articoli pubblicati su riviste a larga diffusione internazionale. Ha curato, per la North-Holland, i volumi 208 e 209 (1999, pages 1-624) della rivista Discrete Mathematics.

E-mail: faina@dipmat.unipg.it